Elementer av numerisk analyse

Numerisk analyse er den grenen av matematikken som finner prosedyrer for å omtrentlige verdier som ikke direkte kan beregnes. Når slike prosedyrer er funnet, blir de kalt numeriske prosedyrer. Typisk fremgangsmåtene blir drevet i "trinn". I starten er et anslag gjort og den maksimale feilen er beregnet. Etter å ha kjørt for ett trinn fremstilles en ny tilnærmelse funnet, og en ny maksimal feil er beregnet. Trinnene fortsette - kommer nærmere og nærmere målet, inntil den maksimale feilen ligger under et visst nivå.

Newtons metode

Newtons metode er en av de enkleste numeriske prosedyrer. Den kan brukes til å anslå tall på jevnt økende eller jevnt avtagende funksjoner. For eksempel, for å bruke Newtons metode for å beregne kvadratroten av 3, starter vi med åpenbare øvre og nedre grenser. Tallet 1,0 er en nedre grense på grunn 1,0 x 1,0 = 1,0, som er mindre enn 3. Tallet 2,0 er en øvre grense på grunn 2,0 X 2,0 = 4,0, som er større enn 3. Det virkelige Svaret kan være lenger fra grensene enn halvveis mellom dem, så en god første gjetning er: nedre grense + (øvre grense - nedre grense) / 2 = 1,0 + (2,0 - 1,0) / 2 = 1,5.

Det neste steget

Midtpunktet er 1,5, og 1,5 x 1,5 = 2,25. Dette midtpunktet gjør en bedre nedre grense enn 1,0. Før det første trinn, svaret var mellom 1,0 og 2,0, ved begynnelsen av trinn 2, er svaret mellom 1,5 og 2,0. Den maksimale feilen før trinn en var 0,5. For neste trinn, vil den maksimale feilen være 0,25. Start hver ny takt med et nytt estimat, nye grenser og et nytt estimat av feil grenser.

Stoppe Algoritmen

For mange tekniske applikasjoner, tar det bare noen få skritt for å få anslaget så nært som du vil den sanne svaret. Kvadratroten av tre (fire sted nøyaktighet) er 1,732. Newtons metode starter med de øvre og nedre grenser på 1,0 og 2,0, og ved hvert trinn i disse grensene blir halvert. I hvert trinn gjeldende approksimasjon er midtpunktet av området, og derfor er den maksimale feilen halvdel eller rekkevidde. Her er hva som skjer med grensene i de første trinnene: (nedre grense, øvre grense) = (1,0, 2,0), (1,5, 2), (1.5, 1.75) og (1,675, 1,75). Grensene er åpenbart innsnevring i rundt den sanne verdien. Den maksimale feil i hvert trinn reduseres til det halve: 0,5, 0,25, 0,125, 0,0626 og så videre. Prosessen avsluttes når feilen blir akseptabelt.

Generelle numeriske prosedyrer

De numeriske prosedyrer er lik Newtons metode, selv om noen av de andre arbeide med komplekse tall eller rekker av tall og har ikke den begrensning at basisfunksjonen være jevnt økende eller minkende. Nesten alle numeriske metoder fungerer ved en steg-for-steg avgrensningen av feil estimering å produsere nærmere og nærmere tilnærmelser, og stoppe når tilnærming er nær nok.