Hva er Lagrange Rest?

Hva er Lagrange Rest?


Den Lagrange Resten, kanskje mer presist kalles Lagrange Feil Bound, er et anslag på hvor nøyaktig en Taylor-polynom tilnærmet en bestemt matematisk funksjon. En Taylor Polynomial gir et anslag på en funksjon atferd basert på verdien av dets derivater. Jo større Lagrange Rest, kan jo mindre presist en Taylor-polynom estimere en funksjon verdi på et bestemt sted. Således er Lagrange Resten brukes til å bestemme en Taylor-polynom er nytten.

Bakgrunn

Taylor-polynom, eller Taylor-serien, er et polynom konstruert av den deriverte av en funksjon på et bestemt punkt. Fordi det er et polynom, er det lettere å manipulere og å forstå enn mange andre matematiske funksjoner som den kan beskrive. Men for å fullt ut beskrive enhver ikke-polynomisk funksjon i polynomisk skjemaet krever et uendelig antall ledd. Dermed kan en Taylor-polynom for en bestemt funksjon bare bestemmes for et endelig antall ledd. Lagrange Resten gir da en måte å estimere hvordan forskjellig fra den faktiske funksjon Taylor-polynom er i en viss avstand fra det opprinnelige punktet.

beregning

Lagrange Resten må beregne det totale bidraget som alle de uendelig mange begreper utelatt av Taylor-polynom tilnærming kunne ha. Resten er lik (M * (| x - c | ^ (n + 1))) / ((n + 1)!), Der n er graden av Taylor-polynom (den høyeste potensen av x i polynomet ), c er x-koordinaten for punktet er en evaluering av polynom ved, og M er den maksimale absoluttverdien av n + 1th derivat av den opprinnelige funksjon.

applikasjoner

Kompliserte funksjoner komme opp i mange fagfelt, fra økonomi til kjemi. Mens du tar derivater er sjelden grei, spesielt for noen som kalkulus studien var år i fortiden eller helt fraværende, er det ofte en enklere prosess enn direkte manipulasjon av en komplisert funksjon for studien. Men på grunn av usikkerhet om riktigheten av en Taylor-polynom sin tilnærming, kan det være vanskelig å tro resultatene kommet frem til gjennom sin studie. En Lagrange Resten gir en tallfestet verdi bevise en Taylor-polynom nivå av nøyaktighet.

Historie

Lagrange Resten er oppkalt etter Joseph Louis Lagrange, en viktig matematiker fra slutten av det 18. og begynnelsen av det 19. århundre. Han gjorde en rekke viktige bidrag til feltet av analysen. Ikke minst av disse bidragene var hans arbeid med tilnærmelser av funksjoner ved hjelp av makt serien - i særdeleshet, først brakte han Taylors innsikt i bruk av suksessive derivater av en funksjon for å komme frem til koeffisientene i en rekkeutvikling av en funksjon. I den samme teksten, ga han en funksjon for feilen av en serie kommer ved denne metoden - formelen nå bærer hans navn.