Hvordan beregne en Cubic Formula

Ifølge Wolfram er Math World, den første kjente løsning på kvadratisk likning, x ^ 2 + bx + c = 0, ble oppdaget rundt 2000 f.Kr. Men den generelle løsningen til kubikk ligningen z ^ 3 + a_2

z ^ 2 + a_1 z + a_0 = 0 (hvor * står for multiplikasjon, cirkumflekstegnet ^ står for potenser og a_1 og a_2 er koeffisienter) ble ikke oppdaget før på 1500-tallet. Dette gir en indikasjon av forskjellen i kompleksiteten av de to problemer. For å løse kubikk ligningen tar flere trinn, men det er ikke utover evnen til alle som kan lære og bruke løsningen på den kvadratiske ligningen.

Bruksanvisning

1 Løs for Q = (3 * a_1-a_2 ^ 2) / 9, Les, for eksempel a_1 som "en sub 1."

For eksempel, hvis du ønsker å løse for z i z ^ 3-3z ^ 2-z + 3 = 0, så Q = - 4/3.

2 Løs for R = (9a_2 * a_1 - 27a_0 - 2a_2 ^ 3) / 54.

Fortsetter eksempel R = 0.

3 Definer w ^ 3 = R +/-? [R ^ 2-Q ^ 3]. Så vil du få to løsninger for w ^ 3, fordi +/- indikerer at du tar + for en løsning og - for den andre. Den radikale tegn? her gjelder hele kvantitet i parentes [].

Fortsetter eksempel w ^ 3 = +/- i * (4/3) ^ (3/2), hvor jeg er kvadratroten av -1.

4 Sett w ^ 3 i polar form slik at du kan ta kubikkroten senere. Den polare form for et komplekst tall er radius * e ^ (i?), Hvor e er grunntallet for den naturlige logaritmen.

Fortsetter eksempel med en av verdiene for w ^ 3, i

(4/3) ^ (3/2) er plassert på y-aksen i det komplekse planet. Derfor vinkelen? må være? / 2 radianer. Dens radius, eller avstanden fra origo, er bare dens verdi uten jeg, siden det er ingen reell komponent å faktor i det fjerne. Så radius e ^ (i?) = [(4/3) ^ (3/2)] * e ^ (? I / 2).

5 Ta kubikkroten av w ^ 3.

Fortsetter eksempel med en av verdien av w ^ 3, får du? (4/3)

e ^ (? I / 6) = (4/3) [cos (? / 6) + i sin (? / 6 )] = (4/3) * [? (3/4) + i / 2].

6 Beregn p = (3a_1 - a_2 ^ 2) / 3.

Fortsetter eksempelvis p = -4.

7 Løs for x = w - p / (3w). Husk at du har to verdier av w for å gjøre dette på.

Fortsetter eksempel med en av verdiene for w, x = w - p / (3W) = (4/3)

+ (4/3) / [(4? [(3/4) + i / 2?]? / 3) [? (3/4) + i / 2]] = 1 + i /? 3 + (4/3) / (1 ​​+ i /? 3). Multiplisere toppen og bunnen av forholdet på høyre side av (1-i /? 3) / (1-i /? 3) for å multiplisere ut det komplekse tall i nevneren. De komplekse deler trekke ut, forlater x = 2.

8 Løs for z = x - a_2 / 3. Dette er den endelige løsningen for den opprinnelige kubikk.

Fortsetter eksempel med en av verdiene for w, z = 2 - (-3) / 3 = 3. Dette er en av løsningene på z ^ 3-3z ^ 2-z + 3 = 0, som kan bekreftes ved å plugging i z = 3.