Hvordan beregne Energy for en to-dimensjonal partikkel i boks

Kvantemekanikk beskriver oppførselen til saken på atomært og subatomære nivå. Dessverre er mange av de grunnleggende konseptene er ulogisk ettersom de synes å motsette seg til vår hverdag opplevelse av virkeligheten. Mange intro klasser hjelpe elevene å forstå noen av de involverte å bruke en enklest mulig modell prinsipper: en partikkel i en boks. Ved hjelp av denne modellen, kan du beregne de tillatte energier av partikkelen i boksen og få et innblikk i hvordan de tillatte energiene er beregnet for et mer komplekst system - hydrogenatomet.

Bruksanvisning

1 Anta at du har en partikkel av masse, "m" i en boks. Veggene i boksen er atskilt med en avstand, "L." Veggene er uendelig høy. Dette systemet kan beskrives ved hjelp av en bølgefunksjonen, "Ψ (x)," som en mulig løsning på Schrödinger ligningen. Den Schrodinger tidsuavhengige ligning er: (-h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * (d ^ 2 Ψ (x) / dx ^ 2) + V (x) Ψ (x) = E Ψ (x). "E" er den totale energi, "V (x)" er den potensielle energi, "Ψ (x)" (i det følgende bare "Ψ") er bølgefunksjonen, og "h" er Plancks konstant - en konstant vil møtes ofte i kvantemekanikk.

2 Merk at utenfor boksen, vil partikkelen har uendelig potensial energi. Schrödingerligningen blir da: (-h ^ 2 / 8π ^ 2 m)

(d ^ 2 Ψ (x) / dx ^ 2) + Ψ (x) = E uendelig Ψ (x).

Den eneste måten dette forholdet kan nå holde sant er hvis Ψ (x) = 0, for da begge sider vil være lik. Derfor er bølgefunksjonen er 0 overalt utenfor boksen. Siden sannsynligheten for å finne partikkelen i et gitt sted er bare kvadratet av bølgefunksjonen, er det null sannsynlighet partikkelen kan være utenfor boksen.

3 Tenk regionen inne i boksen, hvor den potensielle energien er 0. Nå V (x) = 0, så Schrödingerligningen forenkles til: (h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * (d ^ 2 Ψ (x) / dx ^ 2) = E Ψ (x).

Dette er en andre ordens differensiallikning, og løsninger på denne ligningen har følgende generelle form: Ψ (x) = a sin kx + b cos kx. "A", "B" og "k" er konstanter.

4 Substitute den generelle formen av løsningen i Schrödingerligningen. Dette gir deg: (h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * (andre deriverte av A sin kx + b cos kx) = E (A sin kx + b cos kx).

5 Ta andre deriverte av A sin kx + b cos kx. Du husker kanskje fra kalkulus klasser, den deriverte av sin kx er k cos kx, mens den deriverte av cos kx er -k synd kx. Så vil den første deriverte være: Ak cos kx - Bk synd kx.

Tar den deriverte igjen gir: -Ak ^ 2 sin kx - k ^ 2 B cos kx.

Legg merke til at du kan faktor k ^ 2 ut av denne ligningen. Når du gjør dette, må du: -k ^ 2 (A sin kx + b cos kx).

6 Legg merke til noe interessant om den andre deriverte du bare beregnet. Ligningen innenfor parentesen er den samme som den opprinnelige bølgefunksjonen. Du kan derfor skrive det som: -k ^ 2 (Ψ (x)).

Når du erstatte dette tilbake i Schrödinger ligningen, får du: E Ψ (x) = (- (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * Ψ (x).

Du kan dele begge sider av Ψ (x), avbryter for å gi: E = - (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m.

Negativene avbryte hverandre: E = (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m.

Du får nærmere, men du må fremdeles finne k.

7 Legg merke til at du ennå ikke har søkt grensebetingelsene for bølgefunksjonen. Siden sannsynligheten for å finne partikkel utenfor boksen er null, må sannsynligheten for å finne partikkel på veggene av boksen også være null. Du kan vilkårlig satt den ene siden av boksen for å starte ved x = 0 og den andre ved x = L; i dette tilfellet, Ψ (0) = 0 og Ψ (L) = 0. La oss se på det første tilfellet. Hvis Ψ (0) = 0, så dette er sant: 0 = a sin kx + b cos kx.

Synd null er vanligvis null, så det første leddet går til null. Men hva med den andre? B cos k (0) kan bare være null dersom B er null. I så fall blir den bølgefunksjonen nå: Ψ (x) = A sin kx.

8 Betrakt Ψ (L) = 0. Hvis dette er sant, så A sin kL = 0. Den stadige A kan ikke være null, fordi hvis den var, da den bølgefunksjonen vil være null overalt og partikkel ville ikke være hvor som helst, som ikke er mulig. Derfor må synd kL lik null. Husker fra videregående skole trigonometri at synd π = 0, synd 2π = 0, synd 3π = 0 og så videre. Synd noen multiplum av π = 0. Derfor kL må tilsvare et heltall ganger π. Du kan bruke dette til å skrive ligningen kL = nπ, der "n" er et heltall større enn null. Løse for k, finner du: k = nπ / L. Så bølgefunksjonen er Ψ (x) = A sin nπ / L, hvor A er en konstant og n er et heltall større enn null.

9 Tilbakekalling (Ψ (x)) ^ 2 er sannsynligheten for å finne partikkelen på et bestemt sted. Hvis dette er sant, så integralet av Ψ (x) på 0 til L må være lik 1. Hvorfor? Vel, den integrerte gir deg arealet under en kurve, og området nedenfor (Ψ (x)) ^ 2 gir deg sannsynligheten for å finne partikkelen i den regionen. Siden partikkelen ikke kan være utenfor boksen, hvis du summerer sannsynligheten for å finne partikkelen til enhver verdi av x inne i boksen, må summen av alle disse sannsynlighetene være 1. Partikkel må være et sted inne i boksen, tross alt.

10 Ta integralet av Ψ (x) ^ 2 på 0 til L og sette den lik 1: (A sin nπx / L) ^ 2 dx = 1.

Legg merke til når du opp dette, kan du flytte A ^ 2 utenfor integraltegnet fordi det er en konstant, noe som gir deg: En ^ 2 ∫ (sin nπx / L) ^ 2 dx = 1.

11 Merk integralet av sin ^ 2 bx, med b som en konstant, er x / 2-1 / 4b synd 2BX. I dette tilfelle, så blir uttrykket fra det siste trinn forenkles til: A ^ 2 (x / 2 - L / 4nπ sin 2nπx / L) på 0 til L = 1.

Når x = 0, tilsvarer hele uttrykket null, så vi trenger bare å vurdere hva som skjer når x = L og sette det lik 1. Dette gir oss: A ^ 2 (L / 2 - L / 4nπ synd 2πn L / L ) = 1.

LS inne i sin funksjon avbryte. Recall synd 2π = 0, derfor synd alle heltall n ganger 2π er fortsatt null. Derfor forenkler hele dette uttrykket til: A ^ 2 (L / 2) = 1.

Hva må en være for dette uttrykket for å holde sant? For å finne ut, kan du dele begge sider av L / 2, og deretter ta kvadratroten, og gir deg: A = (2 / L) ^ 1/2.

12 Substitute svaret du nettopp funnet tilbake til bølgefunksjonen for å vise følgende: Ψ (x) = (2 / L) ^ 2 (sin nπx / L).

Alle akseptable wavefunctions må ha denne formen, hvor n er et positivt heltall. Hvis du husker, har vi også funnet tidligere: E = (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m, hvor k er konstant der x multipliseres i bølgefunksjonen. Hvis du ser på din bølgefunksjonen, vil du legge merke til at x er multiplisert med nπ / L, derfor k = nπ / L.

1. 3 Erstatte din verdi for k inn uttrykket du utledet for energi: E = (nπ / L) ^ 2 h ^ 2 / 8π ^ 2m. Du kan forenkle dette til: E = n ^ 2 π ^ 2 h ^ 2/8 π ^ 2 m L ^ 2.

Den π ^ 2 i teller og nevner avbryte, så har du nå: E = (n ^ 2 h ^ 2) / (8 m L ^ 2), hvor du nå vet energi til noe positivt heltall n i noen boks med lengde L.

Hint

• Legg merke til noe interessant om resultatene: de er alle heltall multipler, hvor n må være et heltall. Med andre ord, kan partikkel i boksen ikke har noen energi man bestemmer seg for å gi den. Mengden av energi den har kvantiseres, og det kan bare ha visse diskrete energiverdier. Det samme gjelder for elektroner i et atom. Husk energien til et foton av lys er beregnet fra formelen E = hv, hvor v er frekvensen, og du vil begynne å se hvorfor elementene har forskjellig absorpsjon og emisjon spektra - med andre ord, de bare slipper ut og absorbere bestemt egenskap bølgelengder av lys.