Hvordan beregne implisitt derivasjon

I kalkulus, adresser implisitt derivasjon matematiske funksjoner der den uavhengige "x" variabel ikke eksplisitt definere den avhengige "y" variable --- det vil si problemer der det er vanskelig å løse for y i form av x. Implisitt differensiering gjør at du kan finne den deriverte av en slik funksjon uten å løse funksjonen eksplisitt for y. En av reglene for differensiering, kalt kjerneregelen, må brukes når differensiere y. Instruksjon i bruken av kjerneregelen og andre regler for differensiering går utenfor rammen av denne artikkelen.

Bruksanvisning

1 Differensiere begge sider av ligningen ved hjelp av kjerneregelen. Skille begge sider av ligningen y ^ 4 + 3y = 4x ^ 3 + 5 x + 1 resulterer i ligningen: 4y ^ 3 (y ') + 3y' = 12 x ^ 2 + 5.

2 Manipulere ligningen algebraisk for å isolere de y 'betingelser på en side av ligningen, da forenkle. For eksempel, 4y ^ 3 (y ') + 3y' = 12 x ^ 2 + 5 allerede har y 'vilkår på en side av ligningen, men kan forenkles til: (y') (4y ^ 3 + 3) = 12 x ^ 2 + 5.

3 Løs for y 'algebraisk. For eksempel å løse ligningen (y ') (4y ^ 3 + 3) = 12x ^ 2 + 5 for y' finner: y '= (12x ^ 2 + 5) / (4y ^ 3 + 3).

4 Erstatte x- og y-verdiene til et koordinatpunkt inn i ligningen for å bestemme helningen av funksjonen på det tidspunktet. For eksempel, for å finne helningen av punktet (3, 8) for funksjonen f (x) = y ^ 4 + 3y = 4x ^ 3 + 5 x + 1 med deriverte f '(x) = y' = (12 x ^ 2 + 5) / (4y ^ 3 + 3), erstatning x og y i ligningen: y '= 12 (3) ^ 2 + 5/4 (8) + 3) = 108 + 5/32 + 3 = 113 / 35 = 3,2.