Hvordan beregne Kule Harmonics

Hvordan beregne Kule Harmonics


De sfæriske harmoniske er et sett av ortogonale funksjoner nyttig som "basisfunksjoner." Enhver artet funksjon kan uttrykkes som summen av en serie av basisfunksjoner. De sfæriske harmoniske er analog med den Fourier-serien, bortsett fra de sfæriske harmoniske danner et hensiktsmessig grunnlag sett for situasjoner med sfærisk symmetri. Et viktig eksempel: bevegelse av elektroner rundt atomkjerner. Tatt i betraktning viktigheten av sine søknader, beregning sfæriske harmoniske er en ganske grei proposisjoner.

Bruksanvisning

Beregning Kule Harmonics

1 Beregn Legendre polynomet:

P/n(x) = [(-1)^n/(n! * 2^n)] * (d/dx)^n[(1-x^2)^n].

Noen eksempler:

P/0(x) = 1

P / 1 (x) = x

P / 2 (x) = - (1/2) * (1 - 3 * x ^ 2)

2 Beregn tilhørende Legendre funksjon P / n / m:

P/n/m(x) = (1-x^2)^|m|/2 * (d/dx)^|m|[P/n(x)].

Fortsetter eksemplene:

P/0/0(x) = 1

P / 0/1 (x) = x

P / 1/1 (x) = sqrt (1 - x ^ 2)

P / 2/1 (x) = 3 * x * sqrt (1 - x ^ 2).

Merk: Som et alternativ til beregningene i trinn 1 og 2, kan de tilknyttede Legendre funksjoner finnes i matematiske håndbøker, enten fysisk eller elektronisk.

3 Hvordan beregne Kule Harmonics

Funksjoner med sfærisk symmetri kan uttrykkes ved summen av sfæriske harmoniske.

Beregn normalisering konstant:

kappa/n/m = sqrt[((2n + 1)/(4 * pi)) * ((n ' |m|)!/(n + |m|)!)].

Fortsetter eksemplene:

kappa/0/0 = sqrt (1/(4 * pi))

kappa / 1/0 = sqrt (3 / (4 * pi))

kappa / 1/1 = -sqrt (3 / (8 * pi))

kappa / 2/1 = -sqrt (15 / (8 * pi)) 4 Beregn de sfæriske harmoniske. For de fleste fysisk realistiske problemer, kan z-aksen velges slik at de sfæriske harmoniske blir gitt ved:

Y/n/±m(theta, phi) = ('1)^|m| * kappa/n,m * P/n/m(cos(theta)) * e^(±i * m * phi). Assemble the separate calculated pieces into the final expression.

Her eksemplene er utført:

Y/0/0(theta, phi) = sqrt (1/(4 * pi))

Y / 1/0 (theta, phi) = sqrt (3 / (4 * pi)) * cos (theta)

Y / 1/1 (theta, phi) = -sqrt (3 / (8 * pi)) * sin (theta) * e ^ (i * phi)

Y / 2/1 (theta, phi) = -sqrt (15 / (8 * pi)) * cos (theta) * sin (theta) * e ^ (i * phi)

Hint

  • Indeksen "m" har en maksimal absolutt verdi for "n". Dersom n = 2, kan m bare ha verdier av m = 2,1,0, -1, -2.