Hvordan beregne Laplace
Laplace er en differensial operatør som beregner summen av andre partiellderiverte av en funksjon (se figur). Den delvise differensiering er en vanlig metode for å oppnå derivater av en funksjon med flere variable. Det anser bare en bestemt variabel som en variabel om gangen, mens de andre er holdt konstanter. Laplace er av stor betydning i fysikk, være en del av mange grunnleggende ligninger (f.eks, Schrödinger og Helmholtz ligninger).
Som et eksempel, beregne Laplacian av funksjonen: f (X, Y) = 7X ^ 4 + 4Y ^ 2.
Bruksanvisning
1 Vurdere differensiering regler som vil bli benyttet i de andre trinnene nedenfor:
Regel 1. Den deriverte av funksjonen "X i kraft p", dvs. f (X) = CX ^ p, er df / dx = PCX ^ (p - 1). C er noen konstant tall. Legg merke til at et derivat er forkortet enten som df / dx eller f (X).
Regel 2. Den deriverte av en hvilken som helst konstant antall er 0.
2 Beregn først delvis deriverte av funksjonen f (X, Y) med hensyn på X. Bruke regler fra trinn 1, bør du få:
d (7X ^ 4 + 4Y ^ 2) / dX = 4 * 7X ^ (4-1) + 0 = 28X ^ 3.
Legg merke til at begrepet "4Y ^ 2" betraktes som en konstant, og dens deriverte er lik null.
3 Beregn den første partielle deriverte av funksjonen f (X, Y) i forhold til Y:
d (7X ^ 4 + 4Y ^ 2) / dY = 0 + 2 * 4Y ^ (2-1) = 8Y ^ 1 = 8Y
Legg merke til at nå begrepet "7X ^ 4" betraktes som en konstant, og dens deriverte er lik null.
4 Skaff første partiell deriverte av funksjonen f (x, y) som en sum av de partiellderiverte fra trinn 2 og 3:
f '(X, Y) = df (X, Y) / dX + df (X, Y) / dY
I vårt eksempel, f '(X, Y) = 28X ^ 3 + 8Y.
5 Beregn den andre partielle deriverte av funksjonen f (X, Y) i forhold til X som en partiell deriverte av funksjonen fra Trinn 4. På samme måte som trinn 2, må man oppnå:
d (28X ^ 3 + 8Y) / dX = 3 * 28X ^ (3-1) + 0 = 84x ^ 2
6 Beregn den andre partielle deriverte av funksjonen f (X, Y) i forhold til Y som en partiell deriverte av funksjonen fra Trinn 4. På samme måte som trinn 3, kan man få:
d (28X ^ 3 + 8Y) / dY = 0 + 1 * 8Y ^ (1 - 1) = 8Y ^ 0 = 8
7 Beregn Laplacian av funksjonen f (X, Y) som en sum av andre partielle derivater fra Trinn 5 og 6:
Laplace (7X ^ 4 + 4Y ^ 2) = 84x ^ 2 + 8