Hvordan beregne moment av en roterende valse

Dreiemoment er et begrep som brukes ofte i mekanikk. Det er forbundet med gjenstander som spinner rundt noen fast akse - enten en marmor rulle ned en bakke eller månen rundt jorden. For å beregne dreiemomentet, må man for å finne produktet av den treghetsmoment av gjenstanden om denne aksen og frekvensen av forandring av vinkelhastighet, også kalt vinkelakselerasjon. Treghetsmomentet er ikke bare avhengig av plasseringen av aksen, men også av formen på objektet. For en "roterende valse," vi vil anta at rullen er en perfekt sylinder og at dens tyngdepunkt er på sitt geometriske sentrum. Dessuten vil vi forsømmer luftmotstand - som med mange problemer i fysikk, disse forutsetningene forsømme noen virkelige komplikasjoner, men er nødvendig for å skape et løselig problem!

Bruksanvisning

The Moment of Inertia

1 Gjennomgå innledende definisjoner. Den treghetsmoment er gitt ved I = I (0) + mx ^ 2, hvor I (0) er treghetsmomentet om en akse gjennom midten av gjenstanden, og x er avstanden fra rotasjonsaksen til midten av masse. Merk at hvis aksen vi studerer er gjennom sentrum av masse, deretter det andre leddet i ligningen ovenfor forsvinner.

For en sylinder, I (0) = mr ^ 2/2 hvor r er radien av sylinderen og m massen. Så for eksempel hvis rotasjonsaksen er gjennom midten av massen, da I = I (0) = mr ^ 2/2, og hvis rotasjonsakse er halvveis til kanten, og I = I (0) + mx ^ 2 = mr ^ 2/2 + m (r / 2) ^ 2 = 3mr ^ 2/4.

2 Finne vinkelhastigheten. Vinkelhastigheten ω (små bokstaver omega) er et mål på rotasjonshastigheten og måles i radianer per sekund. Man kan beregne denne (i) direkte ved å bestemme antall rotasjoner sylinderen gjør i en gitt tid; eller (ii) ved å finne hastigheten v (avstand per gang) i hvilket som helst punkt på sylinderen og dividere med avstanden fra det punkt til massesenteret; i den sistnevnte fremgangsmåte, ω = v / r.

3 Finn vinkelakselerasjon. Dreiemoment er avhengig av vinkelakselerasjon α (små bokstaver alfa) som er frekvensen av endring av vinkelhastighet ω, så vi må finne endringen i ω for tidsperioden vi vurderer. Da α = "ω /" t. For eksempel hvis rullen går fra ω = 6 radianer / sek til w = 0 rad / sek i tre sekunder, deretter α = "ω /" t = 6/3 = 2 radianer / sek ^ 2.

4 Beregn dreiemoment. Dreiemoment τ = Iα. For eksempel hvis vår sylinder har en masse på 20 g = 0,02 kg og en radius på 5 cm = 0,05 M, og den roterer om en akse gjennom sentrum, så jeg = mr ^ 2 = (0,02) (. 05) ² = 0,00005 = 5e-5 kgm ^ 2. Og hvis vi bruker α fra trinn 3, og stram så τ = Iα = 5e-5 (2) = 1e-4 meter-newton.

Hint

• Treghetsmomentet er på et minimum når rotasjonsaksen er gjennom midten av rullen, og ved et maksimum når aksen er tangenten til dens omkrets. Derfor vil jeg alltid ligge mellom I (0) = mr ^ 2/2 og mr ^ 2/2 + mr ^ 2 = 3mr ^ 2/2.
• Den enkleste feil å gjøre i denne beregningen er å bruke feil måleenheter. Når du bruker det metriske systemet, må avstandene være i meter, tid i sekunder, masse i kilo, og ω i radianer per sekund (husk at 2n radianer = 360 grader). Da det dreiemoment som vil bli målt i meter-newton.
• For det engelske systemet, må avstander måles i fot, i sekunder, masse i slugs (IKKE pounds (en slug = 14,6 kg)), og ω i radianer per sekund. Da det dreiemoment som vil bli målt i fot-pounds.
• Husk også at dreiemoment er avhengig av endringen i ω, ikke co selv. Så spesielt, vil en rull med konstant ω har null dreiemoment.
• Tredje, husk at vi må gjøre visse tilnærminger som beskrevet ovenfor. Effekten av disse tilnærmelser på det endelige resultatet er ubetydelig for de fleste situasjoner, men kan være betydelig hvis rullen er ikke på nesten ensartet tetthet eller opplever sterk friksjon langs dens rotasjonsakse.