Hvordan beregne Periode Oscillation

En beregning av perioden for oscillasjonen for systemer som oppviser harmonisk bevegelse har en rekke vanskeligheter så varierte som antall systemer som er beskrevet ved den. Utføre beregningen fra første prinsipper for selv enkle systemer krever ofte foreløpige kunnskap om grunnleggende begreper i differensialligninger og lavere nivå fysikk. Følgende trinn vil skissere beregning for perioden svingning av en masse festet til en fjær med en grad av frihet, som, når forstyrret, svinger mellom kompresjoner og utvidelser av våren over en friksjonsfri overflate.

Bruksanvisning

1 Tegn en fri-legeme diagram av problemet. Ettersom fjæren (og derfor massen knyttet til det) beveger seg bare i en dimensjon, vet vi at bare en variabel (x) vil være tilstede i bevegelsesligningen. Resten av de mengdene som dukker opp er konstanter.

2 Skriv bevegelsesligningen. Det er en følge av Newtons andre lov av bevegelse, som forteller oss at endringen i bevegelsesmengde p med hensyn på tiden t er lik kraften F som er ansvarlig for endring (F = dp / dt). For en masse m som er under fjærdrevet svingninger, forteller Hookes lov oss at F = -kx, hvor k er fjærkonstanten og x er forskyvningen. Likhetstegn mellom de to lovene, får vi dp / dt = -kx. Putting i alle vilkårene i x, husk at momentum er bare masse ganger den første deriverte av x med hensyn til tid (p = m * dx / dt), så endringen i fart er faktisk masse ganger den andre deriverte av x: dp / dt = m (d ^ 2x / dt ^ 2). Til sammen har vi: m (d ^ 2x / dt ^ 2) = -kx.

3 Løs bevegelsesligningen for x. Dette kan gjøres intuitivt ved å huske at de eneste typer løsninger som returnerer ekvivalenter av seg selv (spare til en faktor på -1) etter å skille to ganger er sinusformet. I dette tilfellet har vi x = Asin (wt), hvor A er amplituden, og w er vinkelfrekvensen.

4 Substitute løsningen funnet i trinn 3 tilbake inn i bevegelsesligningen for å løse med hensyn på vinkelfrekvensen. For vår nåværende eksempel regnestykket ser slik ut: m (d ^ 2x / dt ^ 2) = -kx = -mw ^ 2 (Asin (vekt) = k (Asin (wt)) Avbryte ut som vilkår, får vi. mw ^ 2 = k - ". kvadratroten av"> w = sqrt (k / m), der "sqrt" betyr

5 Skrive ligningen for perioden T avhengighet av vinkelfrekvensen w: T = 2 pi / w. Substitute hva w er lik for å få T i forhold til det som er kjent: T = 2pi / sqrt (k / m).

Hint

• Problemer av denne art som ikke krever bruk av differensialligninger bør bare kreve trinn 4 og 5 for å løse. Den generelle prosedyren ville være å finne vinkelfrekvensen w fra hva informasjonen er kjent, og deretter bruke den til å beregne perioden T.