Hvordan beregne Rotasjons Inertia

Rotasjons treghet, også kalt "treghetsmoment," beskriver hvordan massen til et legeme er fordelt omkring en rotasjonsakse. Treghetsmoment er vanligvis merket med en kapital L. Som vist i Halliday og Resnick innledende lærebok "Fundamentals of Physics," rotasjonskinetisk energi, K, av en kropp er en funksjon av dens treghetsmoment: K = (1/2 ) jeg? ^ 2, hvor? er dens rotasjonshastighet og cirkumflekstegnet ^ indikerer potenser. L kan finnes enten ved å summere løpet individuelle massene m_i, basert på sine distanser R_i fra aksen av valget, eller en sammenhengende masse kan integreres ved hjelp av matematisk analyse. De to beregningene er L = m_i x R_i ^ 2, og jeg = r ^ 2 dm henholdsvis hvor _I er ment som en indeks.

Bruksanvisning

Series Oppsummering

1 Diagram stav ubetydelig masse av lengde 2 meter med 1 kilo massene på endene. Tegn en loddrett akse gjennom sentrum.

2 Beregn treghetsmoment, L, ved hjelp av formelen for diskrete summeringer:? M_i x R_i ^ 2. Da er M_1 1kg og m_2 er også 1kg. r_1 er 1 meter, siden aksen halvere stangen loddrett. r_2 er 1 meter er godt. Derfor? M_i x R_i ^ 2 = 2 x (1kg) x (1m) ^ 2 = 2 kg m ^ 2. Dette er treghetsmoment om en vinkelrett Halvere akse.

3 Beregne treghetsmomentet om aksen gjennom M_1 i stedet for ved midten av stangen. Dette treghetsmoment har r_1 = 0. Så? M_i x R_i ^ 2 reduseres til 1 kg x (2m) ^ 2 = 4 kg m ^ 2. Legg merke til at man derfor må spesifisere plasseringen av aksen i forhold til massen. Forskjellige rotasjonsakser fører til forskjellige treghetsmomenter.

Integral

4 Diagram en stang av ensartet tetthet, med lengde 2 meter og en masse på 2 kg. Tegn en loddrett akse gjennom sentrum.

5 Definere en ende for å være plassert ved x = 0, og den andre enden for å være plassert ved x = 2, med aksen ved x = 1. Deretter i integralet A r ^ 2 dm, er lik r x-1 for x> 1 og 1-x for x <1.

6 Bestem forholdet mellom x til dm, slik at du kan integrere med hensyn på x. Tettheten er 2 kg / 2m = 1 kg / m. Så dm = dx så lenge du holde orden på enhetskonvertering.

7 Omskrive integrert i form av x. Dette gir? R ^ 2 dm = (1-x) ^ 2 dx +? (X-1) ^ 2 dx, hvor den første integralet er fra x = 0 til 1, og den andre er fra x = 1 til 2.

8 Utfør integrasjon.

Fortsatt i eksempelet ovenfor, gir den første integral (1/3) (1-x) ^ 3 evaluert ved 1 og 0, eller (-1/3) (1-1) ^ 3 - (-1/3) ( 1-0) ^ 3 = 1/3. Den andre integral gir tilsvarende 1/3. Så jeg = 2/3 kg m ^ 2. På grunn av at massen ble spredd nærmere rotasjonsaksen, treghetsmomentet er mindre enn halvparten av beløpet dersom den ble konsentrert ved endene, som man så i det diskrete tilfellet.