Hvordan beregne Zeros av polynomer

En enkelt variabel polynom er summen av konstant multiplum av en variabel hevet til forskjellige eksponenter. For eksempel 1 + x er et første-ordens polynom fordi den høyeste eksponenten av x er 1. 2 + 3x + x ^ 3 er en tredje-ordens polynom. Nuller (eller røtter) av et polynom er verdiene for x, hvor polynomet er lik null. Nuller av andre ordens og lavere polynomer kan løses for hånd med den kvadratiske formelen. Høyere ordens polynomer må vanligvis løses med omtrentlige metoder ved hjelp av en datamaskin.

Bruksanvisning

For hånd

1 Sett polynomet inn formen ax ^ 2 + bx + c, hvis polynomet er andre-order.

I dette tilfellet, a, b og c er konstanter, og x er en variabel. (Legg merke til at hvis a = 0, så polynomet er første orden, det vil si, bare en lineær ligning, og kan løses for hånd med grunnleggende aritmetiske manipulasjoner. Med andre ord, bx + c = 0 gir bx = -C, eller x = c / f.)

2 Bruk den kvadratiske formelen til å løse for nuller.

Den kvadratiske formelen er x = [-b +/- √ (b ^ 2 - 4ac)] / [2a], som er løsningen på likningen ax ^ 2 + bx + c = 0. (Dette kan påvises ved hjelp metoden for å fullføre kvadrater eller ved å sette løsningen inn i formelen for å se at det gjelder.)

+/- Her betyr "pluss eller minus." Hvis b ^ 2 - 4ac ikke er lik null, gir den ovenfor angitte ligning to nuller. (Merk at n-te ordens polynomer har n nuller.)

3 Bruk i å representere √ (-1), hvis b ^ 2 - 4ac <0.

Dette vil gi komplekse tall som nuller av ax ^ 2 + bx + c. Komplekse tall er tall som inkluderer den imaginære tall i. I xy-planet, kurven av ax ^ 2 + bx + c ville ikke røre x-aksen når som helst verdi for x. Derfor, noen mattebøker forkaste svaret som meningsløst. Imidlertid definerer kvadratroten av et negativt tall som produktet av I ganger kvadratroten av den absolutte verdi av nummeret blir rundt denne hindring.

For eksempel √ (-100) = √ (-1) --- √100 = i --- 10 = 10i.

Av Datamaskin: Halveringsmetode

4 Bestemme to verdier x i nærheten av den forventede null til polynomet P (x), slik at den polynomiske er av motsatt fortegn i de to punktene.

Det vil si at to verdier x1 og x2 bør være slik at skiltet (P (x1)) = - tegn (P (x2)).

Derfor vil de to x-verdiene bundet til null, og P (x 1) og P (x 2) vil være over og under x-aksen, som avgrenser x-aksen.

5 Beregn midtpunktet mellom x1 og x2.

definere Med andre ord, x3 = (x1 + x2) / 2.

6 Bestem tegn på polynomet ved x3, det vil si, tegnet av P (x3).

7 Kast x-verdien som gir samme fortegn som x3.

For eksempel, hvis x1 og x3 gi samme fortegn for P (x), kast x1.

8 Beregn midtpunktet av de to gjenværende x-verdiene, slik det ble gjort i trinn to.

9 Hold gjenta trinn 3-5 til P (x) er nærmere null enn noen toleranse, der x er tilnærming av rot i den regionen.

X som skyver den absolutte verdi av P (x) under det toleransenivå, for eksempel, 0,001, er den numeriske tilnærming av null til P (x). Med andre ord, har en x blitt funnet slik at | P (x) - 0 | <Toleranse nivå.

10 Deretter gjentar prosessen ovenfor, starter på trinn 1 igjen, for å finne alle andre nuller av P (x).

(Merk at n-te ordens polynomer har n nuller.)

Av Datamaskin: Newton-Raphson

11

Løse for den deriverte av polynomet P (x).

Den monomial av formen c --- x ^ n, hvor c og n er konstanter, har derivat cn --- x ^ (n-1). Den deriverte av et polynom er summen av derivater av monomials. Den deriverte av en konstant i seg selv er null, ettersom en konstant grafen er flat, dvs. ikke varierer med x. Så, for eksempel, (x) = 2x ^ 2 + 3 er den deriverte av P P` (x) = 4x. (Merk merket med P indikerer den deriverte.)

12 Foreta en kvalifisert gjetning som til null av polynomet, bare for å ha et utgangspunkt. Kall det x1.

1. 3 Løs x2 = x1 - P (x1) / P` (x1).

14 Gjenta trinn 3 for å frembringe x3 fra x2, x4 fra x3, og så videre.

15 Stoppe iterasjon (gjentagelse av trinn 3) etter å ha en x er funnet at stedene P (x) så nær null som ønsket.

Hint

• Funksjonene f (x) hvor røttene, eller nuller, blir funnet behøver ikke å være polynomer. De to numeriske (beregnings) metoder ovenfor ikke stole på de funksjoner som polynomer og kan brukes mer generelt.
• Newton-Raphson-metoden er imidlertid ikke generaliseres til alle funksjoner. Funksjonen må være deriverbar. Så hvorfor bruke det i det hele tatt? Fordi det konvergerer mot null raskere enn Halveringsmetode om funksjonen er deriverbar.