Hvordan Bevis formelen for volumet av cuboids

Hvordan Bevis formelen for volumet av cuboids


I matematikk, begrepet "cuboid" har et par forskjellige definisjoner. Generelt refererer betegnelsen til et faststoff med seks plane flater, åtte hjørner og 12 kanter. En firkantet pyramide med sin apex kuttet er et eksempel. Uttrykket "kube" ofte refererer til en smalere klasse av faste stoffer, men med alle motstående flater parallelle - kalt et Dersom alle tilstøtende flater møtes i rett vinkel, er tallet en grunn av "parallellepiped.» «Riktig cuboid." forskjellige former, ingen enkel formel dekker alle cuboids; men du kan løse for volumet av spesifikke terning figurer ved hjelp av kalkulus, vektor eller trigonometriske argumenter.

Bruksanvisning

Vector Approach: parallellepiped

1 Betegne tre tilstøtende sider møte på en av parallelepiped hjørner som de tre vektorene \ "en \", \ "b \" og \ "c \". Betegne deres lengder \ "A \", \ "B \" og \ "C \". Betegne vinkelen mellom \ "a \" og \ "B \" som \ "? \" (Alpha), vinkelen mellom \ "b \" og \ "c \" som \ "? \" (Beta) og vinkelen mellom \ "c \" og \ "en \" som \ "? \" (gamma).

2 Orienter parallellepiped (hvis bare i tankene dine) slik at ansiktet avgrenset av \ "en \" og \ "B \" er på bunnen. Ved hjelp av standard vektor regning, ta kryssproduktet av \ "en \" og \ "B \". Den resulterende kryssproduktet er vektoren vinkelrett på ansiktet som vektorer i \ "en \" og \ "B \" border. Lengden av den resulterende vektor er lik arealet av bunnflaten. Årsaken er at omfanget av kryssproduktet er lik \ "AB synd? \", Ved definisjonen av kryssproduktet. Siden formen av parallellepiped er den samme fra bunnflaten hele veien opp til toppen, bare man har igjen for å multiplisere høyden av arealet av bunnflaten.

3 Identifisere høyden av parallellepiped og multiplisere det med det område av bunnen. Resultatet er volumet av parallellepiped. Med andre ord, er formelen for volumet av et parallellepiped baseområdet ganger høyden. Dette er det samme som å ta skalarproduktet av \ "c \" og kryssproduktet av \ "en \" og \ "B \". Dette er sant, fordi dot produkt er, ved definisjon, er lengden av \ "c \" ganger lengden av kryssproduktet av \ "en \" og \ "b \" tider cosinus \ "? \". Her \ "? \" Er vinkelen mellom \ "c \" og vektoren vinkelrett på bunnflaten. Med andre ord, \ "c cos? \" Er høyden på parallellepiped. Så volumet er \ "c

(axb) \", hvis \ "\" står for prikk-produktet. Hvis du ikke vet høyden, men vet lengder \ "A \", \ "B \" og \ "C \", og vinklene \ "? \", \ "? \" Og \ "? \ ", og deretter gå videre til neste avsnitt.

Trigonometriske Approach: parallellepiped

4 Løs for den ukjente vinkelen \ "? \" Når du ikke har grense sidene i vektorform ved først å hente frem den trigonometriske identiteten cx (axb) = a (c

b) -b (c a).

5 Skriv omfanget av venstre side av ligningen som (ABsin?) C synd?. Nå ene siden av ligningen kan skrives i form av \ "? \". Så du kan eventuelt løse for \ "cos? \".

6 Ta skalarproduktet av vektoren en (C

b) -b (c a) med seg selv. Dette kommer ut til å være (ACB cos - BCA cos?) (ACB cos -? BCA cos?), Eller (ABC) ^ 2 [cos (2)? - 2 cos? cos? cos? + Cos (2)?] (Husk at en a = A ^ 2 og a * b = AB cos?.) Her cos (2)? midler (cos?) ^ 2. Dette resultatet er lik kvadratet av størrelsen av den høyre side av ligningen i trinn 1.

7 Square resultatet av trinn 2 for å likestille det med trinn 3. Eliminer (ABC) ^ 2 første for enkelhets skyld. Derfor sin (2)? sin (2)? = Cos (2)? - 2 cos? cos? cos? + Cos (2) ?.

8 Skriv \ "synd? \" I form av \ "cos? \", Siden ABC synd? cos? er volumet du ønsker å løse for. Dermed sin (2)? [1-cos (2)?] = Cos (2)? - 2 cos? cos? cos? + Cos (2) ?.

9 Løs for \ som følger "sin cos \?":
sin (2)? cos (2)? = Sin (2)? - Cos (2)? + 2 cos? cos? cos? - Cos (2)? = 1 - cos (2)? - Cos (2)? + 2 cos? cos? cos? - Cos (2) ?.
Derfor den endelige formelen for volumet av en parallellepiped er:
? ABC [1 - cos (2)? - Cos (2)? - Cos (2)? + 2 cos? cos? cos?].

Kalkulus Approach: avkortet Square Pyramid

10 Finn ut om kalkulus ville være en nyttig tilnærming ved å avgjøre om figuren kan kuttes i tynne skiver, hver med samme form. For eksempel kan en firkantet pyramide med den spisse topp avskåret - etterlater en overflate parallelt med bunnflaten - er en stabel av tynne firkanter. Formen er konstant, selv om størrelsen varierer.

11 Betegne basen bredden av avkortet pyramide \ "B \" og topp bredde \ "T \". Betegne høyden \ "H \". Deretter integralet av figuren volum er? X ^ 2 dy, hvor \ "x \" er den varierende bredde av kvadratene, \ "dy \" er den differensial høyden av kvadratene og forholdet mellom de to variablene er y = H - H (xT) / (BT). Man kan se dette fordi sidene av en pyramide er lineære, slik at en lineær ligning gjelder. Videre, når \ "x \" er \ "B \", \ "y \" må være \ "0 \". Når \ "x \" er \ "T \", \ "y \" må være \ "H \".

12 Skriv integral x ^ 2 dy i form av en variabel?:
dy lik -dx H / (BT).
Den negative vil komme ut i vask ved å integrere fra x = b x = T, som er mindre.

1. 3 Ta integrert. Husker at integraler er produkter av integranden ganger differensial bredde. Tar integralet av et polynom som x ^ 2 er en enkel sak å tilsette en for eksponenten, og deretter dividere med den nye eksponent. Deretter koble de to endepunktene, \ "B \" og \ "T \", og ta forskjellen mellom de to av dem. Med andre ord, er resultatet [-H / (BT)] [(T) ^ 3/3 - (B) ^ 3/3], eller H / (BT) [(B) ^ 3/3 - (T ) ^ 3/3].

Hint

  • Ifølge fysikeren Jagdish Mehra, Nobelist Richard Feynman funnet ut den generelle formel i den andre delen over med hjelp av en venn i tre uker mens han studerte trigonometri i videregående skole. Hans trigonometri lærer tilbudt opp problemet til klassen som en utfordring at ingen av hans tidligere studenter hadde løst.