Hvordan bruke en linje Integral å finne massen av Wire

Et vanlig problem å teste kalkulus studenter av deres forståelse av linjeintegral er for å bestemme den totale masse av en wire som varierer med densiteten. Selvfølgelig, hvis tettheten er konstant gjennom hele lengden av ledningen, er problemet trivielt - bare et spørsmål om å multiplisere den totale lengde av konstant tetthet. En linje integral, i forhold til en tråd av varierende tetthet, behandler den fulle lengde av tråden i små biter, å summere opp massen av alle disse små stykker.

Bruksanvisning

1 Opprette en linje integral, ved hjelp av en "svært liten" eller differensial lengde? S eller ds ganger funksjon, noe som gir tetthet av tråden på forskjellige stillinger f (x, y).

For eksempel at tetthetsfunksjonen er f (x, y) = 4xy. Integranden som skal bli integrert blir da 4xy ds.

2 Skriv ds i form av en parameter t som er relatert x og y. Anta at man har gitt at vektoren r (t) = x (t) i + y (t) j, hvor r, i og j er vektorer, sporer ut kurven av wire. (I og j er enhetsvektorer i x- og y-retningene.) Legg merke til at en differensial lengde i xy-planet er? (Dx ^ 2 + dy ^ 2). Dette kan omskrives for å ta differensialene ut fra under radikal fortegn som følger:? Dt [(dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2].

3 Skriv integranden i form av parameteren t.

For eksempel at ledningen er beskrevet av r (t) = x (t) i + y (t) j, der x (t) = t og y (t) = t ^ 2-1, for t = 1 til 3. Deretter fortsetter med vår tidligere eksempel, f (x, y) = 8 (y + 1) / x = 8t, blir ds dt? [(dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2] = dt ? [(1) ^ 2 + (2t) ^ 2] = dt? [4t ^ 2-1]. Så full integranden er? [4t ^ 2-1] × [8t] dt.

4 Integreres over lengden av tråden i forhold til parameteren t.

For eksempel, linjen i vårt eksempel er fra t = 1 til 3. Så massen av tråden er ?? [4t ^ 2-1] x [8t] dt, som er lett løses med kjennskap til kjerneregelen for å komme differansen av (2/3) [4t ^ 2-1] ^ 1,5 evaluert ved 3 og 1, eller (2/3) [35 ^ 1,5-3 ^ 1,5] = 134,58. Dette er massen av kabelen i vårt eksempel.