Hvordan bruke Gauss-Jordan

Gauss-Jordan eliminasjon er en versjon av Gauss-eliminasjon til å løse systemer av lineære ligninger. De variable koeffisienter, i stedet for bare å bli redusert til en trekant, er redusert til en diagonal. Dette eliminerer behovet for etterfølgende substitusjon, noe som forenkler koder for programmering.

Bruksanvisning

1 Skape en matrise av koeffisientene for de lineære likningene.
Ligningene har alle sine variabler til venstre - og konstanter til høyre - i likhet. Matriksen ligning er da AX = C, hvor X og c er vektorer av samme lengde, og A er en matrise.

2 Bruk den øverste raden i A for å eliminere det første leddet i den andre raden.
Dette gjøres ved å multiplisere gjennom den andre raden og konstant i C i den samme rad med en skalar som gjør det første element et negativ av det første elementet i den første raden. Den andre raden i A og C blir deretter erstattet med summering av de første og andre rader. Den andre raden har nå en null i første periode. En 2 x 2 eksempel, hvor den tredje kolonne er C:
2_4 2
1_3__4
blir
_2

4 2
-2 -6 -12
blir
2 4____2
0 -2 ___- 10

3 Eliminer det andre leddet i den første raden ved å bruke en skalar multiplum av den andre raden.
Strategien er lik som i trinnet ovenfor, multiplisere den andre raden ved en skalar å gjøre sin første ikke-null sikt det negative av elementet over det.
Fortsatt i eksempelet ovenfor,
2 4__ 2
0_-2 _-10
blir
2_

4 2
0_-4 -20
blir
2 0 -18
0_-4 __- 20
Den andre raden kan returneres til sin opprinnelige enklere form, eller ytterligere redusert.
2_0 -18
0_1___5

4 Gjenta disse trinnene for alle påfølgende rader under, før på diagonalen elementer av A er alle null.

5 Bruk diagonal å løse for hver variabel verdi.
2 0 -18
0 1___5
betyr at 2x = -18 (eller x = -9) og y = 5.
For en 3 x 3 f.eks
3_0 0 6
0_1_0 _5
0_0 4 8
angir at 3 x1 = 6, 1 x2 = 5, og 4 * x3 = 8. Så x1 = 2, x2 = 5, og x3 = 2.

Hint

  • Hvis det er redundans i ligningene, det vil si, har de diagonale nuller på slutten av prosedyren, deretter variablene er kanskje ikke alle kunne bestemmes, med minst to variable venstre, som funksjoner av hverandre.
  • I prosessen med å eliminere elementer, kan en ikke-null konstant forbli i C, med noe igjen i den tilsvarende raden A. ligningssystemet er derfor motstridende, og det er ingen løsning på system.Therefore, en ufullstendig diagonal kan bety enten variablene er ikke kan fastsettes eller at det ikke finnes noen løsning.