Hvordan Brytes en delvis Fraction

Delvis nedbryting fraksjon er en algebraisk metode som brukes for å lage en sammensatt rasjonell funksjon (en fraksjon) til en enklere en. Metoden er hyppig brukt i beregning for å forenkle integranden av en integrert, noe som fører til en enklere integrering. Målet er å forenkle rasjonell funksjon og konvertere den komplekse form i summen av to eller flere enklere rasjonale funksjoner. Delvis brøkdel nedbryting kan betraktes som den inverse operasjonen med å legge fraksjoner sammen.

Bruksanvisning

1 Faktor nevneren i rasjonell funksjon. For eksempel vurdere rasjonell funksjon (x ^ 2 + 2x - 1) / (2x ^ 3 + 3x ^ 2 - 2x). Når tatt nevneren (2x ^ 3 + 3x ^ 2 - 2x) blir x (2x ^ 2 + 3x - 2), siden x er den største felles faktor. I betraktning igjen, x (2x ^ 2 + 3x - 2) blir: x (2x - 1) (x + 2).

2 Skill hver faktor fra priset evner, ta deres gjensidige og legge dem. For eksempel, nevneren x (2x - 1) (x + 2) har tre forskjellige faktorer: x, 2x - 1 og x + 2. Ved hjelp av etterfølgende bokstaver i tellerne for hver faktor, blir den partielle fraksjon nedbrytning: (x ^ 2 + 2x - 1) / x (2x - 1) (x + 2) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)).

3 Bestemme verdiene for tellerne i de partielle fraksjoner. For eksempel, å multiplisere begge sider av ligningen (x ^ 2 + 2x - 1) / (2 x ^ 3 + 3x ^ 2 - 2 x) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)) ved faktorisert nevneren oppnår: (x ^ 2 + 2x - 1) = (A (2x - 1) (x + 2)) + (Bx (x + 2)) + Cx (2x - 1 ). Utvidelse av den høyre side, blir ligningen: (x ^ 2 + 2x - 1) = x ^ 2 (2A + B + 2C) + x (3A + 2B - C) - 2A.

4 Sett opp ligninger for å løse for koeffisientene på høyre side av ligningen. For eksempel, løse for koeffisientene A, B og C i ligningen (x ^ 2 + 2x - 1) = x ^ 2 (2A + B + 2C) + x (3A + 2B - C) - 2A finner at: ( 2A + B + 2C) = 1, da koeffisienten til x ^ 2 på den venstre side er 1; (3A + 2B - C) = 2, ettersom koeffisienten til x på den venstre side er 2; 2a = -1, ettersom konstant på den venstre side er -1.

5 Løs for koeffisientene. For eksempel, siden -2a = -1, A = (1/2). Ettersom A = (1/2), 3 (1/2) + 2B - C = 2 ---> 2B - C = (1/2) og 2 (1/2) + B + 2C = 1 --- > B + 2C = 0. Fortsetter å løse funn B = (1/5) og C = (- 1/10).

6 Skriv ut dekomponeres brøk med de nylig bestemt koeffisienter. For eksempel, (x ^ 2 + 2x - 1) / (2 x ^ 3 + 3x ^ 2 - 2 x) = (1/2) (1 / x) + (1/5) (1 / 2x - 1) - ( 1/10) (1 / x + 2).

Hint

• Feilaktig rasjonell funksjon krever bruk av syntetisk delingen av polynomer å skrive det i delvis fraksjoner form. Hvis en faktor har et produkt som er gjentatt, slik som de som er i form (ax + b) ^ n, hvor n er et positivt helt tall, blir den partielle fraksjon nedbrytning: (A (1) / (ax + b)) + (A (2) / (ax + b) ^ 2) + ... + (A (n) / (ax + b) ^ n).