Hvordan finne Kardinaliteten av de reelle tall og heltall

Hvordan finne Kardinaliteten av de reelle tall og heltall


I mengdelære, refererer kardinalitet til antall elementer i et sett. Kardinalitet er enkel nok til å avgjøre når vi har å gjøre med et sett med et endelig antall elementer. Kardinaliteten av egg i et dusin er 12. Kardinaliteten uker i året er 52. Kardinalitet blir litt vanskeligere å avgjøre når apparatet har uendelig elementer som sett med reelle tall og settet av heltall.

Bruksanvisning

1 Sammenligne kardinaliteten av heltall til kardinaliteten av reelle tall. I matematikk er det blitt bestemt at mengden av heltall er countably uendelig mens settet med reelle tall er ikke countably uendelig. Det er, begge settene er uendelig, men sett av heltall er countably uendelig mens det ikke er mulig å telle alle tallene i settet med reelle tall.

2 Se i Cantor Diagonalisering Argument å forstå forskjellen mellom countability av settet av heltall og sett av reelle tall. Cantor baserte sin argumentasjon på første visualisere tall skrevet ut i et rutenett. Snarere enn å telle alle numrene, ble tallene langs hver diagonal telles. Ved å gjøre det Cantor var i stand til å vise at enkelte sett er mer uendelig enn andre, noe som betyr at noen uendelig settene har en høyere kardinalitet enn andre. I dette tilfellet er det sett av reelle tall må en høyere cardinality enn settet av hele tall. Faktisk er det sett av reelle tall mellom 0 og 1 har en høyere cardinality enn hele settet av hele tall.

3 Skriv kardinaliteten av alle naturlige tall som aleph null - det vil si, skriver Aleph, den første bokstaven i det hebraiske alfabetet, med en undergruppe av 0. Dette symbolet kalles også aleph null. Akkurat som vi bruker uendelig symbolet for å betegne uendelig, er aleph null brukes til å representere uendelig høyt tall som er kardinaliteten av alle naturlige tall.

4 Skriv kardinaliteten av settet av de reelle tall som små bokstaver c. Siden vi allerede vet at det ikke er en en-til-en korrespondanse med aleph null - den uendelige tall som representerer alle heltall - vet vi at mengden av reelle tall ikke kan være aleph null. Teknisk sett er dette nummeret aleph en skrevet som en aleph med en undergruppe av en. For enkelhets skyld, er dette representert ved liten bokstav c. Akkurat som med aleph null og uendelig symbol, står dette symbolet for en uendelig stort antall.