Hvordan finne kvadratroten av rasjonale tall

Det er mange problemer som involverer å finne kvadratroten av et tall. Hvordan finner du kvadratroten hvis du ikke har en kalkulator med en kvadratrot funksjon? Det er noen enkle metoder du kan bruke til å raskt finne kvadratroten. Disse metodene har vært i bruk i tusenvis av år før kalkulatoren ble oppfunnet. Løsningene arbeide for rasjonale tall, som er tall som er heltall, eller kan bli representert av en kvotient av to heltall.

Bruksanvisning

1 Kvadratroten kan bli funnet hvis du har tilgang til et sett med logaritmisk tabeller. Den naturlige logaritmen for et tall x er vanligvis betegnet som ln (x). Bunnen av den naturlige logaritme er antall 2.271828 ... som er betegnet som bokstaven e.

Kvadratroten av et tall x er basen av naturlige logger, e, hevet til kraften i den naturlige logaritmen for x, delt på to. Dette kan uttrykkes som:

kvadratroten av x = e ^ (ln (x) / 2).

Dette ser komplisert ut, men logaritmisk tabeller vanligvis har verdiene for ln (x) og e ^ x for et stort spekter av tall. Så du trenger bare å slå opp verdien av ln (x) i tabellen, og deretter dele verdien du fant i tabellen med 2. Lar kaller verdien ln (x) / 2 = en. Neste slå opp verdien av e ^ a. Dette er svaret.

2 Kvadratroten av et tall kan også bli funnet ved suksessive tilnærmelser. Hvis du bruker en enkel formel, kan du forbedre resultatene dine raskt.

Hvis du trenger å finne x, som er kvadratroten av y, og velg en verdi av x som er omtrent kvadratroten av y. Til å begynne med, kan du velge en verdi som er basert på en kjent roten nær verdien av y. Tilnærming formelen vi bruker, er x '= (x + y / x) / 2, hvor y er antallet vi trenger å finne roten av, og x er antallet vi gjetter roten å være.

Compute x '= (x + y / x) / 2. Bruk denne verdien av x "for å beregne y og se hvor nær løsningen er. Hvis ikke tilstrekkelig nær, og deretter bruke denne verdien av x 'i den samme formelen for å beregne en ny x' og prøv igjen. For eksempel, for kvadratroten av 8, antar en løsning av x = 2,6:

x '= (x + y / x) / 2 = (2,6 + 8 / 2,6) / 2 = 2,8384615

Så x '= 2.8384615 blir vår første tilnærming av kvadratroten av 8. Fordi x' er ikke veldig nær vår første gjetning av x = 2.6, må vi gjenta prosessen i vår formel for å få et resultat nærmere den virkelige plassen roten av 8.

Nå beregne x '= 2,8384615 og y / x' = 8 / 2,8384615 = 2,81842818.

Sammenligne verdiene av x 'og y / x'. Du kan se at de er nær, men nøyaktig til bare én desimal. Prøv en annen iterasjon, ved hjelp av verdiene bare beregnet på ligningen x '= (x + y / x') / 2.

x '= (2.8384615 + 2.81842818) / 2 = 2,8284448

Selve svaret er 2.8284271 ... så allerede vi er nøyaktige til 4 desimaler. Fremgangsmåten kan fortsettes i flere nøyaktighet hvis nødvendig. Verdiene av x 'og y / x' vil til slutt møtes, det vil si til slutt x 'vil tilsvare y / x'. På dette punktet, kan det ikke være noen økning i nøyaktighet.

3 Tallet vi søker roten av (den radicand), kan være en perfekt kvadrat. Tall som er perfekte kvadrater ha heltallige røtter. For eksempel, 9 er et perfekt kvadrat med en rot av tre.

Hvis radicand ender i en 2, 3, 7 eller 8, så vet vi at antallet er ikke et perfekt kvadrat. Alle tall som ikke er perfekte kvadrater har irrasjonelle røtter. Det er, vil roten av disse tallene være et desimaltall som bare kan tilnærmes. Pi er kjent en irrasjonell nummer, som er kvadratroten av to.

Du kan gjette hvor mange til å begynne tilnærming av en rot, hvis du vet den perfekte plassen som er mindre enn radicand (y i formelen). Jo nærmere startverdi, jo mindre tid du må beregne tilnærming formel.

For eksempel si at vi trenger å finne kvadratroten av 21. Vi vet at 16 er et perfekt kvadrat med en rot av 4. Vi vet også den neste perfekt kvadrat er 25, med en rot av 5. Fordi 16 er mindre enn 21, bruker roten til 16, x = 4, til å begynne beregningen.

x '= (x + y / x) / 2

x '= (4 + 21/4) / 2 = 4,625

x '= (4,625 + 21 / 4,625) / 2 = 4,58277

x '= (4,58277 + 21 / 4,58277) / 2 = 4,582575, som er svaret på 6 desimaler.

Hint

• Metodene som beskrives finne rektor kvadratroten, som er den positive kvadratroten, av et rasjonelt tall som er større enn null.
• Et heltall er et tall som ikke har en desimal, slik som 2 eller 2315.
• En kvotient er en brøkdel, for eksempel 4/3 eller 576/1024.