Hvordan finne Radius of Convergence

Hvordan finne Radius of Convergence


Radien av konvergens kan betraktes som en samling av verdier i den uavhengige variabelen i en potensrekke over hvilken serie nærmer seg en endelig grense. For den uavhengige variabelen x av en konvergent potensrekke som utvider om verdien en, blir radius av konvergens R matematisk skrives som R <| xa | eller en - R <x <a + R. Man kan velge mellom flere forskjellige tester for konvergens avhengig av innholdet (n-avhengighet) i serien i spørsmålet, blant annet forholdet test.

Bruksanvisning

1 Skriv ned serien i summering notasjon. For å gjøre dette, tegne en kapital gresk sigma symbol og skrive "n = 1" rett under den. Tegn uendelig symbolet over toppen av sigma. Nå, skrive ligningen (x-1) ^ (n) / (3n) direkte til høyre for sigma. Dette begynner problemet ved å identifisere strøm serie som radius av konvergens vil være å finne.

2 Skrive ligningen for det ytterste mens n går mot uendelig av den absolutte verdien av forholdet mellom den (n + 1) 'te sikt til den n-te varigheten av serien. For å gjøre dette, skriver du ned "L = lim" og "n-> uendelig" under "lim". Skrive den absolutte verdien av forholdet direkte til høyre for "lim". Du har nå en ny linje i problemet som ser slik ut: L = lim | [(x-1) ^ (n + 1) / (3 (n + 1))] [3n / (x-1) ^ ( n)] | (Som n går mot uendelig). Avbryt ut dine liker vilkår og faktor ut koeffisienten, redusere grensen til L = | x-1 | lim | (n / (n + 1)) | (Som n går mot uendelig).

3 Bestemme grensen. Vurdere tre eller fire verdier av n for å se hvilken verdi ligningen tilnærminger. For n = 10, må du L = | (x-1) (10/11) |. For n = 100, har du L = | (x-1) (100/101) |. For L = 1000, har du L = | (x-1) (1000/1001) |. Fra disse tre evalueringer, ser du at den (n / (n + 1) delen av forholdet nærmer seg verdien 1 som n går mot uendelig Derfor er grensen L = |. (X-1) (1) | = | x-1 |.

4 Skriv ned og løse den resulterende ratio test ulikhet. Regelen av forholdet test er at grensen for den absolutte verdien til forholdet mellom tilstøtende betingelser må være mindre enn en, eller L <1. For tilfelle av eksempel, har man L = | x-1 | <1. Løse ulikheten gir deg -1 <x - 1 <1 eller 0 <x <2. Du vet nå at intervall av konvergens er mellom 0 og 2, og kan eller ikke kan omfatte verdiene 0, 2 eller begge . Likevel, du har så mye informasjon som du trenger for å finne radius av konvergens.

5 Beregne lengden av intervallet, og dividere med to. For eksempel har du R = (0 + 2) / 2 = 1.