Hvordan finne vinkelen mellom diagonalene av en Cube

Hvordan finne vinkelen mellom diagonalene av en Cube


Hvis du skulle ta en firkant og trekke to diagonaler linjer, ville de krysser i sentrum, og danne fire rettvinklede trekanter. De to diagonalene krysse 90 grader. Du kan intuitivt antar at to diagonalene i en kube, hver kjører fra ett hjørne av kuben til det motsatte hjørnet og kryss i midten, vil også krysse i rett vinkel. Du ville være feil. Bestemme vinkelen der to diagonalene i en kube krysser hverandre er litt mer komplisert enn det kan virke ved første øyekast, men det gjør flott trening for å forstå prinsippene i geometri og trigonometri.

Bruksanvisning

1 Definer lengden på en kant som en enhet. Per definisjon hver kant på kuben har en identisk lengde av en enhet.

2 Bruk Pythagoras 'læresetning for å bestemme lengden av en diagonal løpende fra et hjørne, til det motsatte hjørne på den samme side. Kalle dette en "kort diagonal 'for tydelighets skyld. Hver side av rettvinklet trekant som dannes er en enhet, slik at den diagonale må være lik √2.

3 Bruk Pythagoras 'læresetning for å bestemme lengden av en diagonal løpende fra et hjørne til det motsatte hjørne av den motsatte side. Kalle dette en "lang diagonal." Man har en rettvinklet trekant med en side lik en enhet, og en side som tilsvarer en "kort diagonal," V2 enheter. Kvadratet av hypotenusen er lik summen av kvadratene av sidene, slik at hypotenusen må være √3. Hver diagonal kjører fra ett hjørne av kuben til det motsatte hjørne er √3 heter lang.

4 Tegn et rektangel for å representere to lange diagonaler som krysser i midten av kuben. Man ønsker å finne vinkelen på deres skjæringspunkt. Dette rektangelet vil være en enhet høy og V2 enheter bred. De lange diagonaler halvere hverandre i sentrum av denne rektangel og danne to forskjellige typer trekant. En av disse trekanter har en side som tilsvarer en enhet og de to andre sidene lik √3 / 2 (halvparten av lengden av en lang diagonal). Den andre har også to sider lik √3 / 2, men dens andre side er lik V2. Du trenger bare å analysere en av trekantene, så ta den første og løse for den ukjente vinkelen.

5 Bruk den trigonometriske formelen c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C for å løse for den ukjente vinkelen på denne trekanten. C = 1, og at både a og b er lik √3 / 2. Plugging disse verdiene inn i ligningen, vil du finne ut at cosinus av ukjent vinkel er 1/3. Tar invers cosinus til 1/3 gir en vinkel på 70,5 grader.