Hvordan kan oppnå den Integral Volum av en Hypersphere

Bare en sirkel er mengden av alle punkter i et todimensjonalt plan like langt fra et sentralt punkt og en kule er mengden av alle punkter i tre dimensjoner like langt fra et sentralt punkt i matematikk finnes det analoge strukturer, kalt hyperspheres, i dimensjonale arealer større enn tre som er settet av alle punkter i samme avstand fra et sentralt punkt. Følgelig kan like integrert volumet av en kule i tre dimensjoner utledes med kalkulus, så kan de integrerte volumer av disse høyere-dimensjonale figurer.

Bruksanvisning

1 Definerer koordinatsystemet som skal brukes i problemet. Selv om en hvilken som helst koordinatsystem kan bringes til å arbeide, en variant av sfæriske polarkoordinater som fungerer best. Som et eksempel, i et n-dimensjonalt rom, definerer r som avstanden til midtpunktet, theta som er asimutvinkelen og phi1, phi2, ... phi (n-2) og vinkelkoordinater som strekker seg fra 0 til pi radianer.

2 Skriv ut den grunnleggende volum integral over hele hypersphere. Dette vil være integralet fra 0 til noen radius R for r, og over helheten av de mulige vinkler for hver vinkel koordinat, 0 til 2 pi for theta og 0 til pi for de gjenværende variablene. De multiple integraler blir tatt av en på tvers av volumelementet.

3 Bytt volumet elementet med de riktige betingelsene beregnet fra Jacobian determinant. For eksempel, for en hypersphere i fire dimensjoner, vil det være:

r ^ 3 sin ^ 2 (phi1) sin (phi2) dr dphi1 dphi2 dtheta.

For mer hjelp databehandling Jacobian, se den aktuelle ressursen link.

4 Skriv ned det endelige svaret etter å ha tatt hvert integrert i hverandre. I vårt eksempel på de fire-dimensjonale hypersphere det endelige svaret er:

(Pi ^ 2/2) * radius ^ 4.

Hint

• Det er også rekursive formler for volum av en hypersphere som lar deg finne formelen for volumet fra volumet formelen for hypersphere i to færre dimensjoner.