Hvordan kan oppnå Newtons bevegelseslover

Isaac Newtons bevegelseslover endret menneskets oppfatning av universet, fra en som en ufattelig himmelsk sfære hersket over det jordiske verden til et sted underlagt de samme universelle lover overalt. Som beskrevet, for eksempel i George Smiths essay "Newtons Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", Newtons lover vanligvis samlet og systematisert prinsipper som allerede var kjent - men de ble innsikt basert på observasjon og logikk, og ble ikke "avledet" i vanlig forstand av ordet. Men etter eksempler som at gitt av Tom Kirchner i sine notater for York Universitys klassisk mekanikk klasse, er det mulig å utlede Newtons bevegelsesligninger fra Hamilton prinsipp om minst handling.

Bruksanvisning

Etablere Work for avledning

1 Konstruer Lagrange. Integralet av Lagrange over tid er "handling", som skal bli minimalisert, i samsvar med Hamiltons prinsipp.

Den Lagrangske er definert som den kinetiske energi minus den potensielle energi, vanligvis uttrykt som L = T - U.

2 Beregn den ligning som tilfredsstiller minimalisering tilstand.

Avledning av minimalisering tilstanden kan være funnet - blant mange andre steder - i Professor Frank Wolfs 'notater for University of Rochester klassiske mekanikken klasse. Minimaliseringen tilstand er d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = 0, hvor xdot er den tidsderiverte av funksjonen x (t), også kalt hastighet.

3 Konstruer bevegelseslikningene for de spesifikke forholdene.

Ligning av Motion uten ekstern Force - Newtons første lov

4

Beregn kinetisk og potensiell energi i et punkt masse.

I en dimensjon, er den kinetiske energien gitt ved T = (1/2) m (xdot) ^ 2, og med ingen ytre krefter, den potensielle energi, U, er null.

5 Konstruer Lagrange.

For denne situasjonen, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - 0 = (1/2) m (xdot) ^ 2

6 Beregn vilkårene i minimalisering tilstand.

d / dt (∂L / ∂xdot) = d / dt (∂ ((1/2) m (xdot) ^ 2) / ∂xdot)) = m * xdoubledot, hvor xdoubledot er den andre deriverte av x (t) med hensyn til tid, oftere kalt akselerasjon, og ∂L / ∂x = 0, så det er ingen vilkår som er avhengige av x.

7 Konstruer minimalisering tilstand.

d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = m * xdoubledot = 0

8 Integrere ligning med hensyn på tid.

Vi ender opp med likningen x (t) = v0 * t + x0, som sier posisjonen til punktet massen er posisjonen der det startet pluss hastigheten som det beveger ganger hvor lenge det har vært bevegelse. Dette er det samme som Newtons første lov, som sier at hvis det ikke er noen krefter, en kropp i ro forblir i ro og en kropp i bevegelse holder den samme bevegelse.

Bevegelseslikning med en ekstern Høyre Force - Newtons andre lov

9 Beregn kinetisk og potensiell energi i et punkt masse.

I en dimensjon, er den kinetiske energien gitt ved T = (1/2) m (xdot) ^ 2, mens den potensielle energi er U (x), som representerer en kraft som kan overføre energi til et punkt masse.

10 Konstruer Lagrange.

For denne situasjonen, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - U (x).

11 Beregn vilkårene i minimalisering tilstand.

d / dt (∂L / ∂xdot) = d / dt (∂ ((1/2) m (xdot) ^ 2) / ∂xdot)) = m * xdoubledot, og ∂L / ∂x = -∂U / ∂x. En konservativ kraft, en kraft som ikke er friksjon, er gitt ved uttrykket F = -∂U / ∂x, så ∂L / ∂x = F.

12 Konstruer minimalisering tilstand.

d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = m * xdoubledot -F = 0.

1. 3 Omorganisere ligningen.

F = m * xdoubledot, eller, ved å erstatte bokstaven a, for akselerasjon, for xdoubledot, F = ma, som er den vanlige formulering for Newtons andre lov.

Hint

• Newtons tredje lov, som sier at for hver handling er det en lik og motsatt reaksjon, har en matematisk representasjon, men ikke direkte oversette til noen bevegelsesligningen som kan utledes.