Hvordan løse den tidsavhengige Schrödingerligningen

Schrödingerligningen er en hjørnestein i kvantemekanikken, som beskriver dynamikken og fysiske egenskaper (som energi og momentum) i en kvante partikkel ved hjelp av en mengde som kalles bølgefunksjonen. Schrödingerligningen er en partiell differensialligning, noe som betyr at ligningen beskriver hvordan bølgefunksjonen endringer i både tid og rom. Mens Schrödingerligningen kan forenkles for å beskrive bare bevegelse gjennom rommet (det som kalles tidsuavhengige Schrödingerligningen), oppløsningen til den tidsavhengige Schrödingerligningen (som også inkluderer tid) kan gi en mer detaljert beskrivelse av kvantetilstand .

Bruksanvisning

1 Bruke teknikken til separasjon av variable for å skille bølgefunksjonen Ψ (x, t) inn i produktet av to funksjoner: en plass avhengig og en tidsavhengig. Dette kan skrives som:

Psi (x, t) = psi (x) Phi (t).

(Der Psi, psi representerer store og små versjoner av de greske bokstaver).

Schrödingerligningen, opprinnelig skrevet som

(Ih / 2 pi) (partiell Psi (x, t) / delvis t) = (-h / 2m) [(partial ^ 2) Psi (x, t) / delvis x ^ 2)] + V (x) Psi (x, t)

(Der "delvis" representerer delvis avledet symbol) blir da

(Ih / 2 pi) (partiell [psi (x) Phi (t)] / delvis t) = (-h / 2m) [(partial ^ 2) [psi (x) Phi (t)] / delvis x ^ 2 )] + V (x) [psi (x) Phi (t)]

Ring denne ligningen A.

2 Separer den tid og den romlige komponentene i ligning A, slik at hver komponent er på den ene side av likhetstegnet. Å gjøre dette gir

(1 / psi (x)) [(-h / 2m) (d ^ 2) psi (x) / dx ^ 2) + V (x) psi (x)] = (1 / Phi (t)) [ih (d Phi (t) / dt)].

Ring denne ligningen B.

3 Siden hver side av ligning B er avhengig av en annen variabel (rom og tid, henholdsvis), som ligger på hver side av ligningen er lik en konstant, som vi vil kalle E. Dette gir to separate ligninger:

(1 / psi (x)) [(-h / 2m) (d ^ 2) psi (x) / dx ^ 2) + V (x) psi (x)] = E

(1 / Phi (t)) [ih (d Phi (x) / dt)] = E.

4 Løs den tidsuavhengig versjon av ligning B ved anvendelse av kjente teknikker for å løse ordinære differensialligninger. Løsningen vil avhenge av formen av potensialet V (x), slik at en generell løsning C (x) kan brukes som en plassholder dersom denne ikke er umiddelbart kjent.

5 Løs den tidsavhengige ligning versjon av ligning B. Dette kan løses ved hjelp av teknikken for separasjon av variable for en første ordens lineær differensialligning, som gir løsningen

Phi (t) = A exp (- IET / h),

hvor A er en generell konstant og "exp" er den eksponensielle funksjon.

6 Kombiner løsningene fra den tidsavhengige og tidsuavhengig ligninger. Dette gir den generelle løsningen

Psi (x, t) = u (x) exp (- IET / h),

som er den oppløsning av den tidsavhengige Schrödingerligningen.

Hint

• Funksjonen u (x) er en kombinasjon av den generelle løsningen C (x) og konstanten A fra den tidsavhengige løsning.