Hvordan løse en Fourier Series ligning

Joseph Fourier var en fransk matematiker, som i 1807 oppdaget en fremgangsmåte for å anvende trigonometri for å produsere en serie av ligninger for å representere overføring av varme mellom to objekter. Dessverre franskmannen savnet det viktigste aspektet av hans formel; likningene kan også bli brukt til å bryte ned et signal eller funksjon til en rekke grunnleggende sinus og cosinus bølger. Det tok ytterligere 70 år før forskerne skjønte den banebrytende teknikk kan brukes i alle former for analyse, og er nå et fast innslag i moderne ingeniør som vanligvis brukes av studenter og fagfolk.

Bruksanvisning

1 Identifiser funksjonen du skal søke på Fourierrekker og definere en rekke punkter for analyse. Som et eksempel, bruk av funksjonen f (x), hvor f (x) = x; mellom verdiområde -pi og pi. For å produsere en full Fourierrekker, må du lage en ligning i form x = a_0 + a_k

(cos [kx]) + b_k (sin [kx]) og finne den manglende verdier a_0, a_k, b_k.

2 Beregn grunnfrekvens (a_0), tar integralet av identifiserte funksjon over omfanget av verdiene du har definert og fordelt med halvparten av funksjonen periode. Bruke forrige eksempel, hvis en svingning oppstår mellom -pi og pi perioden er 2 pi, halvparten av dette er pi. For å utføre integralet av f (x) = x mellom -pi og pi i Mathematica, bruker Integral kommandoen i form Integrer [funksjon, rekkevidde]. Ligningen for a_0 er derfor a_0 = Integrer [x, {x, -pi, pi}] / pi, og vil returnere en verdi fra 0 da inngått Mathematica.

3 Tren kontinuerlig koeffisientene a_k og b_k, hvor a_k er integralet av f (x) cos (kx) dividert med halvparten av perioden, og b_k er integralet av f (x) sin (kx) dividert med halvparten av perioden . Som før, bør begge integraler tas mellom punktene -pi og pi, ved hjelp av Integrer [funksjon, rekkevidde] metoden. Våre eksempel f (x) = x vil produsere resultater a_k = 0 og b_k = (-1 ^ (k + 1)) * (2 / k) når beregnet i Mathematica.

4 Bytt ut de manglende verdiene av a_0, a_k, b_k med de beregnede koeffisienter for å produsere en generell Fourierrekker: x = 0 + 0 + (-1 ^ (k + 1)) * (2 / k) sin (kx). Fullføre serien ved å erstatte k med verdier stigende fra 0,1,2 ... og summere alle resultatene sammen: x = 2sin (x) - sin (2x) + (2sin (3x)) / 3 + ... The høyere verdi av k, jo mer nøyaktig resultat din være, men for de fleste anvendelser en verdi av en eller to vil være tilstrekkelig.

Hint

• Mesteparten av tiden, en eller flere av koeffisientene i Fourier-rekker vil returnere null; gjennom praksis mønstrene som produserer disse resultatene vil bli klart og bli en verdifull tidsbesparende verktøy.