Hvordan løse ikke-lineære likninger

Likninger er to eller flere ligninger med flere variabler. En løsning av disse likninger er et sett av variabler som samtidig tilfredsstiller alle ligninger. De lineære ligninger er generelt gitt som "y = ax + b", mens ikke-lineære ligninger kan være hvilke som helst uttrykk som ikke er beskrevet som lineær (for eksempel "5X ^ 3-7Y ^ 2 = 21"). "X" og "Y betegne ligningsvariabler og tall før variabler (for eksempel" 5 "og" -7 ") kalles koeffisienter.
Som et eksempel, vil vi løse to ikke-lineære simultane ligninger med to variable "X" og "Y". 2X ^ 2 + 5Y ^ 2 = 30 og 3x ^ 2-4Y = 20.

Bruksanvisning

1 Identifisere en variabel som er i den samme kraften i begge ligningen. I vårt eksempel ville det være "X" som det er i kraft av "2" i de to ligninger.

2 Multiplisere begge sider av den første ligning med en koeffisient fra den andre ligning i det variable identifisert i trinn 1.
I vårt eksempel er koeffisienten på "X" i den andre ligningen er "3." Dermed 3x2X ^ 2 + 3x5Y ^ 2 = 3x30 eller 6x ^ 2 + 15y ^ 2 = 90.

3 Multiplisere begge sider av den andre ligning med en koeffisient fra den første ligningen i det variable identifisert i trinn 1.
I vårt eksempel er koeffisienten på "X" i den første ligningen er "2." Det fører til 2x3X ^ 2-2x4Y = 2x20 eller 6x ^ 2-8Y = 40.

4 Trekk fra andre modifiserte ligning (trinn 3) fra den første modifiserte en (trinn 2). Legg merke til at koeffisientene på en variabel er de samme i begge modifiserte likninger og subtraksjon vil utjevne dette begrepet.
I vårt eksempel ville det være
6X ^ 2 + 15y ^ 2 = 90
6X ^ 2-8Y = 40

15Y2 ^ 2 + 8Y = 50.
Til slutt legger "-50" til begge sider for å få det som 15Y2 ^ 2 + 8Y-50 = 0.

5 Løse likningen med en variabel oppnådd i Trinn 4. Legg merke til at løsningen prosedyren ville avhenge av en bestemt ligning.
I vårt eksempel, vi fikk den kvadratiske ligningen "15Y2 ^ 2 + 8Y-50 = 0" som har to løsninger:
Y1 = (- 8 + sqrt (64-4x15x (50)) / 15x2 = 1,57845.
Y2 = (- 8-sqrt (64-4x15x (50)) / 15x2 = -2,11178.
( "Sqrt" er en forkortelse for kvadratroten matte drift).

6 Løse en av de første likninger med hensyn på den variabel som er fortsatt ukjent.
I vårt eksempel, er en slik variabel "X." Legg til "4Y" til begge sider den andre ligningen og deretter dele med "3."
X ^ 2 = (20 + 4Y) / 3. Ved å ta kvadratroten vil du finne løsninger for X
X = sqrt ((20 + 4Y) / 3) og X = -sqrt ((20 + 4Y) / 3). Deretter erstatte "Y" med verdier funnet i trinn 5 for å få
X1 = sqrt ((20 + 4x1.57845) / 3) = 2,9616.
X2 = -sqrt ((20 + 4x1.57845) / 3) = - 2,9616.
X3 = sqrt ((20 + 4x (-2,11178)) / 3) = 1,9624.
X4 = -sqrt ((20 + 4x (-2,11178)) / 3) = -1,9624.

7 Kombiner variable verdier avledet i trinn 5 og 6 for å oppnå løsninger av likninger.
Merk at i vårt eksempel, to verdier av "X" tilsvarer hver verdi av "Y." Derfor er disse likninger har fire løsninger som kan skrives som "X", "Y" par: (2.9616, 1,57845), (-2.9616, 1,57845), (1,9624, 2.11178) og (-1.9624, 2,11178). Grafisk betyr det at ligningen tomter er krysset i de fire punktene (se figur) som har "X" og "Y" koordinater som er nevnt ovenfor.