Hvordan løse Kvar Polynomer

En quartic polynom ligning har formen z ^ 4 + a_3

z ^ 3 + a_2 z ^ 2 + a_1 z + a_0 = 0, der a_i er er konstante koeffisienter, den \ "jeg er \" forstås senket, de vinkeltegn ( ^) indikerer potenser og stjernene () indikerer multiplikasjon. Noen enkle former for ligningen er lett factor, som x ^ 4 + Cx ^ 3 = x ^ 2 (x ^ 2 + Cx), eller x ^ 4 - a ^ 2 = (x ^ 2 - a) (x ^ 2 + a). Hvis kvar har formen en x ^ 4 + b x ^ 2 + c = 0, så det kan løses med den kvadratiske formelen etter omskriving x ^ 2 som y for å få en y ^ 2 + b y + c = 0. Anvendelse av den generelle formel, er imidlertid ganske komplisert og, med mindre man er heldig, er beregning av komplekse tall flere ganger.

Bruksanvisning

1 Bruk koeffisienter a_i i den opprinnelige formelen for å definere en ny kubikk ligningen: y ^ 3 - a_2

y ^ 2 + (a_1 a_3 - 4a_0) y + (4a_2 a_0 - a_1 ^ 2 - a_3 ^ 2 a_0) = 0.

2 Løs for en rot av kubikk. Alt du trenger er en rot for å fortsette, ikke alle tre. Hvis du kan gjette en løsning eller komme opp med en enkel faktorisering, ville det være en mange ganger enklere enn å løse den generelle kubiske form. For eksempel, x ^ 3 - y ^ 3 = (x ^ 2 + xy + y ^ 2) (x - y), og x ^ 3 - y ^ 3 = (x ^ 2 - xy + y ^ 2) (x + y).

3 Betegne rot som du bestemmer i trinn 2 som y1.

4 Definere en ny variabel R som en funksjon av y1 og koeffisientene a_i i den opprinnelige ligning: [0,25 * a_3 ^ 2 - a_2 + y1].

5 Definere en ny variabel D som en funksjon av R, y1 og koeffisientene a_i. Hvis R ikke er 0, da definere D som? [0,75

a_3 ^ 2 - R ^ 2 - 2a_2 + 0,25 (4a_3 a_2 - 8a_1 - a_3 ^ 3) / R]. Hvis R er lik 0, og deretter definere D som [0,75 * a_3 ^ 2 - 2a_2 + 2 (y1 ^ 2 - 4a_0)].

6 Definere en ny variabel E som en funksjon av R, y1 og koeffisientene a_i. Hvis R ikke er 0, da definere E som [0.75

a_3 ^ 2 - R ^ 2 - 2a_2 - 0,25 (4a_3 a_2 - 8a_1 - a_3 ^ 3) / R]. Hvis R er lik 0, og deretter definere E som [0,75 * a_3 ^ 2 - 2a_2 - 2 (y1 ^ 2 - 4a_0)].

7 Skrive de fire løsninger til den opprinnelige ligning som en funksjon av a_3, R, D og E som følger.
z1 = - (0.25) a_3 + 0.5R + 0.5D
Z2 = - (0.25) a_3 + 0.5R - 0.5D
z3 = - (0.25) a_3 - 0.5R + 0.5E
Z4 = - (0.25) a_3 - 0.5R - 0.5E