Hvordan løse lineære ligninger i tre variabler

June 25

Man kan bruke den gaussiske metode for å løse et system av tre lineære ligninger samtidig, hvis systemet har en løsning. Den grunnleggende ideen er å legge til heltalls multipler av to likninger for å frembringe en ny ligning med færre variabler. Den nye ligning vil erstatte en av de to ligninger hvorfra man beregnet den. Du vil deretter gjenta denne prosessen til alle variablene er bestemt. Denne tilnærmingen er også kalt "eliminasjonsmetoden."

Bruksanvisning

1 Plasser de variable vilkår på venstre side av likhetstegn og konstantene til høyre. Bestill variabler å matche opp vertikalt.

For eksempel,
2x + 3y + 2z = 0
3x + 2y + 3z = 0
3x + 3y + 2z = 1

2 Nå legger heltallige multipler av to ligninger med hverandre for å eliminere i det minste en variabel. Erstatte en av de to ligninger som brukes for å gjøre denne beregningen.

Fortsetter med eksempelet ovenfor, være oppmerksom på at de første og siste likninger har to vilkår som er det samme. Derfor vil trekke den første ligningen fra det siste produsere en ligning med bare en variabel venstre. Ved hjelp av E1, E2 og E3 for å betegne dagens rader, erstatte E1 med E3-E1 å gi deg
_x + + = 1
3x + 2y + 3z = 0
3x + 3y + 2z = 1
(De strek brukes her bare for å holde variablene justert mellom radene.) Så x = 1.

3 Bytt ut noen variabler med sine verdier som de blir kjent.

Fortsetter med eksempelet ovenfor, innsetting x = 1 reduserer systemet over til to ligninger i to ukjente:
3 + 2y + 3z = 0
3 + 3y + 2z = 1
eller
2y + 3z = -3
3y + 2z = -2

4 Gjenta trinn 2 på nytt for å fjerne en annen variabel, igjen å erstatte en av de to ligninger med den nye.

Fortsetter med eksempelet ovenfor, og erstatter den andre ligningen med 3E1-2E2 gir
2y + 3z = -3
__ + 5Z = -5
Derfor z = -1.

5 Gjenta trinn 3 som variable verdier blitt kjent.

Fortsetter med eksempelet ovenfor, ved å erstatte z = -1 i E1 samtidig forenkle E2 får
2y + -3 = -3
__ + _ Z = -1
Derfor y = 0. Slik at oppløsningen er x = 1, y = 0, z = -1.

Hint

Noen ganger må ligningene i systemet ikke fører til en unik løsning, men i stedet er overflødige eller motstridende. I det førstnevnte tilfelle vil det være mer enn en løsning. I det sistnevnte, er det ingen løsninger. Et eksempel på redundans er
2x + 3y = 4
4x + 6y = 8
fordi en ligning er en konstant multiplum av den andre. I dette tilfelle er det mulig med en uendelig antall løsninger. Et eksempel på motstridende ligninger er
x + y = 1
x + y = 0
fordi ligningene si x + y er lik to ulike tall, som det ikke kan. Se eHow artikler "Infinite Solution eliminasjonsmetoden" og "Om Gauss-Jordan Method" av samme forfatter for videre lesning på disse to situasjonene.