Hvordan Tegn en graf i Kalkulus

Skissere en graf må du følge et sett med regler basert på differensial kalkulus. Det er nødvendig å forstå reglene for differensiering for å finne viktige punkter og visse atferd av grafen på disse punktene. Skissere en grafisk fremstilling som viser forholdet mellom en funksjon og dets derivater og hjelpemidler i forståelsen av disse forhold i en visuell måte.

Bruksanvisning

1 Finn domenet til funksjonen ved å bestemme hvor funksjonen ikke eksisterer. Dette kan være en asymptote eller annen diskontinuitet på funksjonsgrafen. For eksempel kan funksjonen f (x) = cosx / (2 + sinx) har et domene inkludert alle reelle tall, fordi det ikke er noen verdier hvor nevneren er lik 0.

2 Bestem avskjærer i diagrammet ved å løse den funksjonen for x = 0 og f (x) = 0. For eksempel, f (0) = cos (0) / (2 + sin (0)) = (1/2), derfor y-aksen er lik 1/2. cosx / (2 + sinx) = 0, da cosx = 0. Dette skjer når x = (2n + 1) PI / 2, der n er et helt tall. Det finnes derfor et uendelig antall x-skjæringspunkter.

3 Bestemme symmetrien i funksjon. Hvis f (x) = f (-x) deretter funksjonen er jevn og symmetrisk om y-aksen. Hvis f (-x) = -f (x) slik at funksjonen er merkelig og symmetrisk om origo. Funksjonen f (x) = cosx / (2 + sinx) verken selv eller oddetall, så det er ikke symmetrisk.

4 Finn alle asymptotene til funksjonen. En horisontal asymptote oppstår hvis (grensen for f (x) som x ---> uendelig) nærmer seg et tall l, så er L en horisontal asymptote. Dersom (grensen for f (x) som x ---> C) går mot uendelig, hvor C er et tall, da er C er en vertikal asymptote. For eksempel, (x) = cosx / (2 + sinx) har ingen asymptoter basert på disse reglene.

5 Bestem intervaller på økning og reduksjon ved å bruke økningen / reduksjonen test for derivater. Denne testen slår fast at der f '(x) er positiv f (x) øker, og der f' (x) er negativ f (x) er avtagende. For eksempel, den deriverte av (x) = cosx / (2 + sinx) = - (2sinx + 2) / (2 + sinx) ^ 2, ved kvotienten regel derivater. Således, f (x)> 0 når sinx <-1/2 eller når (7PI / 6) <x <(11PI / 6) slik at f (x) øker her. Så, men senker på intervallene (0, 7PI / 6) og (11PI / 6, 2n). 0 til 2 pi er den perioden av sinus- og cosinus-funksjoner.

6 Finne de kritiske antall av f (x) for å bestemme eventuelle maksimums- eller minimumsverdier. Kritiske antall definert som hvilket som helst antall c hvor f '(c) = 0. Hvis f' (c) endrer skilt fra positiv til negativ ved c så f (c) er et maksimum, og dersom f '(c) I endrer fortegn fra negativ til positiv ved c så f (c) er et minimum. For eksempel, idet endepunktene av intervaller på det økende / mink test, er det funnet at et minimum opptrer ved f (7PI / 6) = -1 / sqrt (3) og et maksimum forekommer ved f (11PI / 6) = 1 / sqrt (3).

7 Finner den andre deriverte av funksjonen, f '' (x), for å bestemme steder av bøyning og konkavitet. Den andre deriverte er den deriverte av f (x). For eksempel, ved å bruke reglene for differensiering, den deriverte av f (x) = - (2sinx + 2) / (2 + sinx) ^ 2 er f '' (x) = - (2cosx (1 - sinx) / ( 2 + sinx) ^ 3. Når f '' (x) er positiv så f (x) er konkav opp. Når f '' (x) er negativ da f (x) er konkav ned. Undersøke f '' (x) finner at det er positivt når cosx <0 ---> (PI / 2) <x <(3PI / 2). Så f (x) er konkav opp på intervallet (PI / 2, 3PI / 2) og konkav ned på (0, PI / 2) og (3PI / 2, 2n). de interessante bøyning er definert som alle punkter på kurven av f '' (x), hvor det er en endring av tegn.

8 Skisser grafen med all informasjon oppdaget fra å bruke kalkulus på funksjonen. Først tomt x- og y-interecepts, maksimums- og minimumspunkter og vendepunkt. Asymptoter bør trekkes som stiplede linjer. Som du tegne grafen, passerer det gjennom de plottede punktene basert på intervaller på økning og reduksjon. Ta hensyn til retningen av konkaviteten bestemme ved virkemåten av f "(x).