Informasjon om lineære ligninger

Mange har sett den mest grunnleggende av lineære ligninger, y = mx + b. Fra dette har en hel gren av matematikken dannet gjennom århundrene. Lineære ligninger, eller løsninger basert på lineære ligninger, er rundt oss hver dag - fra bilene vi kjører, til datamaskinene vi bruker, til de bygningene vi okkuperer. Uten lineære ligninger, vil vi føre mye enklere liv.

Definisjon

En lineær ligning er en hvor alle variabler er atskilt og ingen av dem har en eksponent annet enn en. For eksempel, f (x, y, z) = 2x + 3xy + z ^ 2 ikke er en lineær ligning, fordi "x" og "y" er multiplisert med hverandre og "z" har en eksponent av to. På den annen side, f (x, y, z) = 2x + 4y + 3z er en lineær ligning. For to eller tre dimensjoner, denne ligningen representerer en rett linje i rommet. For flere dimensjoner, fortsatt representerer det en rett linje, men bare i den teoretiske forstand. Du kan ikke engang forestille en "rett linje" i et 10-dimensjonalt rom, men det er det en 10-variabel lineær likning representerer.

Systems

Løse multivariable lineære ligninger krever litt mer kunnskap enn bare en enkelt ligning. Faktisk, for et system med "n" variabler, må du "n" ligninger med disse variablene for å finne en løsning. Den vanligste metoden for å vise et system av lineære ligninger er med matriser. Koeffisientmatrisen er en "nxn" matrisen som inneholder koeffisientene til alle variabler i systemet av ligninger, mens oppløsningen vektoren er vanligvis en kolonnevektor, eller «nx en" matrise, som inneholder alle konstanter. For ligningen 3 x - 2y + 4Z = 12, koeffisientene 3, -2, og 4 vil være en del av koeffisientmatrisen og 12 vil være en del av løsningen vektoren.

Elimination

Den mest grunnleggende metode for å løse et system av lineære ligninger er en form for eliminering. Den mest kjente eliminasjonsmetoden er Gauss eliminasjon. For å gjøre Gauss eliminasjon, må du øke koeffisienten matrise med løsningen vektor. Dette er vanligvis betegnet med "|" symbol. For eksempel kan en utvidet graner rad med en 3 x 3-systemet ser ut [2 3 5 | -2]. Gauss eliminasjon vil gi deg en løsning for den siste variabel i systemet. Du må da erstatte løsningen tilbake gjennom de andre radene i matrisen for å finne løsninger for alle de andre variablene.

ortogonalitet

Når to linjer møtes i to eller tredimensjonalt rom ved en 90-graders vinkel, er de loddrette. Disse to linjer har spesielle egenskaper knyttet til hverandre at matematikere kan bruke i andre løsninger. Tilsvarende, selv om du ikke kan se for det, kan to linjene møtes i et 10-dimensjonalt rom i en 90-graders vinkel. I stedet for "vinkelrett", de er "ortogonale." For å finne ut om to linjer er ortogonale, må man regne det indre produkt av vektorene dannet av ligninger. Hvis det indre produkt, eller "dot produkt," er lik null, da linjene er ortogonale.

Selvstendighet

Et system kan bare ha en enkelt løsning hvis alle ligningene er lineært uavhengige. Lineær uavhengighet krever at ingen ligning være en lineær kombinasjon av en hvilken som helst annen ligning eller ligninger i systemet. For eksempel, 6x - 4y + 8z = 10 og 3 x - 2y + 4Z = 5 er lineært avhengige, fordi den første ligningen er to ganger den andre ligningen. Hvis du utfører Gauss eliminasjon på et system av lineære ligninger, en rad med en null dreie når du er ferdig representerer en avhengig ligningen. Alle radene med numeriske dreietapper er lineært uavhengige av hverandre. Hvis du har en "nxn" system, og en av ligningene er lineært avhengige, kan du ikke finne en løsning for systemet.