Kalkulus Disk Metode Practice Problemer

Skiven Fremgangsmåte i calculus er en metode for beregning av sirkulært symmetriske volumer med et gitt tverrsnitt. For eksempel kan eleven bli spurt om å finne volumet gjøres ved å dreie område bundet av y = x, med x = 1 og x = 2, roteres om x-aksen.

Grunnleggende Strategi

I stedet for å summere rektangler, som i vanlig integrasjon, sum dere plater. Diskene er selv rektangler rotert i en sirkel. Den grunnleggende strategi er derfor å bestemme radien av diskene og løse ?? r ^ 2? (Bredde), ved hjelp av det faktum at volumet av en disk er? R ^ 2 ganger dens bredde.

Eksempel

Eksempelet ovenfor produserer disker med radius x, fordi avstanden fra kanten av diskene til sentrum av rotasjon (x-aksen) er høyden y (= x). Så integralet fra x = 1 til 2 er ?? x ^ 2 dx = / 3 evaluert på to og ett eller 8/3 (x ^ 3?) -? / 3 = 7/3.

vaskemaskin Method

Når området som skal roteres er avgrenset av to funksjoner, er løsningen for å bruke disken fremgangsmåten to ganger og deretter subtrahere den forskjell. For eksempel at det over problemet er omarbeidet slik at du må rotere det samme området rundt y-aksen i stedet for x-aksen. Da formen vil effektivt være en stabling av skiver i stedet for disker, siden det vil være et hull i midten. Jo større radius er x = 2. Radiusen det er trivielt 2. Så volumet er bare sylindervolumet høyde på 2 og radius på 2, dvs. (? 2 ^ 2) 2 = 8 ?.

Nå trenger vi å trekke ut den sentrale delen. Fra y = 0 til y = 1, er radien en konstant x = 1. Fra y = 1 til 2, varierer radien fra 1 til 2. Derfor vil to integraler skal brukes. Sylinderen fra y = 0 eller 1 er funnet på samme måte som sylinderen avgrenset av x = 2: sirkulært område ganger høyden = 1 = (1 ^ 2?)?. For diskene fra y = 1 til 2, er lik radius x, så integrere fra x = 1-2 med integranden (? X ^ 2) dx. Dette integrerer selvfølgelig til (? X ^ 3) / 3. Koble til to og en og trekke fra for å få det bestemte integralet gir 7? / 3. Slik at den endelige løsningen er den store sylindervolum minus den indre sylinder minus den indre skråskivestabelen:?? 8 -7 / 3-? = (4 2/3)? = 14? / 3.

En Transformation

Hva hvis du blir bedt om å utføre en rotasjon rundt en skråstilt rotasjonsakse? En enkel måte er ut for å gjenkjenne et lignende problem som bruker en enklere rotasjonsakse. For eksempel, å rotere område som er avgrenset ved x = 1, y = 0 og y = x rundt linjen y = x er et vanskelig integrasjon fordi radiene er vanskelig å beregne. Det er imidlertid den samme som roterer formen avgrenset av y = 0, y = x, og y = -x +? 2. (Den siste ligningen tok 7.-klasse kunnskap om slope-skjærings form og Pythagoras 'læresetning for å beregne.) Så bare rotere denne rundt x-aksen som to sett med disker, ett sett som fra x = 0 til? 2/2 og den andre fra? 2/2 til? 2.