Klassifisering av systemer av lineære ligninger

Lineære ligninger beskriver rette linjer eller flate flerdimensjonale overflater. Systemer av lineære ligninger er sett av lineære ligninger. De finnes i mange akademiske og tekniske disipliner. Lineære ligninger brukes i statistikken, engineering, fysikk, økonomi, og økonomi. En gitt system av lineære ligninger kan falle inn i en av tre kategorier. Ved anvendelsen av denne artikkelen, vil følgende todimensjonale systemet brukes som et eksempel:

4x + 5y = 1

4x - 2y = 2

Linear Equations nomenklatur

Graden av et system av lineære ligninger er antallet lineært uavhengige rader eller kolonner i matrise av koeffisienter som system. Den koeffisienter matrise er et rutenett av tallene som forut for systemvariablene. I vårt eksempel, ville koeffisientene matrise være:

4 5

4 -2

For en rad (eller kolonne) for å være lineært uavhengig av en annen rad (eller kolonne), må den være slik at en rad (eller kolonne) ikke kan fremstilles ved en lineær kombinasjon av en annen rad (eller kolonne). Du bør ikke være i stand til flere alle elementene i rad 1 ved et enkelt tall for å få rad 2. Du kan se at alle kolonnene i vårt eksempel koeffisienter matrisen er lineært uavhengige, fordi det finnes ingen enkelt tall som ville tillate oss å formere 4 for å få 5 og -2. Du kan også se at radene i vårt eksempel matrisen er lineært uavhengige. Det finnes ingen enkelt tall som når det multiplisseres med fire frembringer fire, og når det multipliseres med 5 produserer -2. Dette betyr rang av vårt eksempel systemet er 2.

Den utvidede matrisen er en kombinasjon av de koeffisienter matrise og løsningen vektoren. I vårt eksempel den utvidede matrisen vil være:

4 5 1

4 -2 2

Fordi denne matrisen har to rader, den høyeste verdien rang av den utvidede matrisen kan muligens være 2. Derfor, for dette eksempelet, rang av den utvidede matrisen er lik rangering av matrisen av koeffisienter.

Utvide System

I vårt eksempel system av ligninger, er det bare to variabler. Ligningene beskrive linjer i to-dimensjonale rommet. Hvis vi skulle legge et annet sett av variabler ligningene vil beskrive fly i tredimensjonalt rom. Dette kan utvides til flere dimensjoner. I stedet for å tenke i form av systemer med et bestemt antall variabler, kan vi tenke i form av et generisk system med n variabler. Dette gjør det mulig å klassifisere de generelle egenskaper for alle systemer av ligninger uavhengig av antall variabler i systemet.

Ingen løsning

Dersom rangeringen av koeffisientene matrisen er ikke lik rangeringen av den utvidede matrisen, er det ingen løsning. Det er ikke noe unikt sett av verdier som oppfyller de krav som er beskrevet i ligningssystemet. Systemet av ligninger kan ikke løses. Hvis systemet ikke kan løses, er systemet sies å være inkonsekvent.

En unik løsning

Det er et enkelt, unikt sett av løsninger til ligningssystemet hvis graden av koeffisientene matrise er lik graden av den utvidede matrisen og de er begge lik antallet kolonner i matrisen koeffisientene. Det er et enkelt sett med verdier som oppfyller kravene som beskrives av ligningssystemet. Hvis det er en unik løsning, er systemet sies å være uavhengige.

Et uendelig antall Solutions

Ligningssystemet har et uendelig antall løsninger hvis rangeringen av koeffisientene matrisen er lik rangering av den utvidede matrisen og de er begge mindre enn antallet rader i koeffisientene matrisen. Thiere er en uendelig stor sett av verdier som oppfyller kravene som beskrives av ligningssystemet. Hvis det er et uendelig antall av løsninger, er systemet sies å være avhengig.