Likheter mellom euklidsk og sfærisk geometri

For mer enn 2000 år, uttrykket "Euklidsk geometri" var overflødig fordi det var ingen andre geometri. Det var først på 19-tallet at matematikere endelig våget å utforske ulike geometriske ideer. Euklidsk geometri er basert på fem postulater, eller aksiomer, og bygger opp hele geometrisk system på rammen av disse fem postulater. Non-euklidske geometrier godta de fire første av disse, men endre den femte postulat om å bygge helt konsekvent (selv om ikke-intuitive) geometrier.

De første fire postulater

Euclid brukes kun de fire første postulater for de første 28 proposisjonene av sine elementer. Men han trengte en femte postulat å gå lenger enn det, så han opprettet en ekstra postulat som ikke kunne utledes fra de andre fire postulater. I århundrer senere matematikere prøvde, men klarte ikke å bevise det femte postulat på grunnlag av de fire første.

De fire første postulater er at to punkter kan settes sammen med en rett linje, noen rett linje segment kan forlenges på ubestemt tid i en rett linje, en sirkel kan trekkes ha en endepunkt som sentrum og segment som radius (gitt noen rett linje segment) og alle rette vinkler er sammenfallende.

The Fifth Postulate

De første fire postulatene er enkle og virker så intuitivt som å være nesten selvinnlysende. Den femte postulat står i kontrast. Sin opprinnelige formulering var at hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at de innvendige vinkler på den ene siden legge opp til mindre enn to rette vinkler, de to rette linjer, hvis de er forlenget, skjærer hverandre på den siden. Moderne Euklidsk geometri bruker en enklere, men helt tilsvarende postulat: "Gjennom et gitt tidspunkt ikke på en gitt linje der finnes nøyaktig en linje parallell til den gitte linjen." Sfærisk geometri erstatter den femte postulat med "gjennom et gitt punkt ikke på en gitt linje, det finnes ingen linjer parallelt med den gitte linjen."

Triangles

Når matematikere begynte å utforske konsekvensene av å erstatte den opprinnelige femte postulat med modifisert versjon for sfærisk geometri, gjorde de ikke finne interne uoverensstemmelser. Mer presist, noen matematikere fant uoverensstemmelser, men det viste seg at deres resonnement var feil. Den nye geometri var konsistent, men i konflikt med sine intuitive ideer om plass. En av de rare ting om de nye geometri berørte trekanter. I begge euklidske og sfæriske geometrier, kan summen av de innvendige vinkler i en trekant ikke være mindre enn 180 grader. I Euklidsk geometri, er summen alltid er 180 grader nøyaktig. I sfærisk geometri, er summen alltid er større enn 180 grader.

applikasjoner

Både Euklidsk og ikke-euklidske geometrier er svært nyttig. Utviklerne av sfærisk geometri var å utforske ideer i ren matematikk, men en opplagt program var ganske bokstavelig talt under nesen, dvs. er planeten jorden hovedsak sfærisk, og euklidsk geometri, mens nyttig i liten skala på kloden, faller fra hverandre på en stor skala. For å demonstrere dette, gå nordover fra et punkt på ekvator til du treffer Nordpolen. Snu 90 grader til høyre og fortsette å gå til du treffer ekvator igjen. Snu 90 grader og gå til høyre igjen til du når ditt utgangspunkt. Du bare spores ut en trekant med tre rette vinkler. Du kan ikke gjøre det i Euklidske rommet.