Martingale Tutorial

Martingale sannsynlighet har vært brukt som en betting strategi i århundrer, men det er fortsatt uenighet om nytten sin. Martingale teori ble innført for å handle derivater i 1970 og har blitt en av de sentrale verktøyene i moderne teori om finans.

Definisjon og eksempel

En sekvens av statistiske (tilfeldige) variabler regnes som en "martingal" hvis den oppfyller følgende vilkår. Hvis du er på et tidspunkt i sekvensen, den forventede verdien av NEXT term i sekvensen (basert på din kunnskap om alle de tidligere vilkårene) er lik verdien av den gjeldende perioden. I matematisk språk, er dette skrevet E [Xn + 1 | X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn] = xn.

Du kan innvende mot denne definisjonen, og peker på at verdiene før Xn bør tas i betraktning, også, men det er reelle eksempler hvor denne definisjonen holder.

For eksempel at den tilfeldige variabler Xi er verdiene av din formue på tiden jeg. Anta også at hvert spill er rettferdig (lik) og mistet en dollar eller får en dollar. Da den forventede verdien av Xn + 1 er nåverdien av Xn. Mer spesifikt, hvis din nåværende formue er $ 10, og du gjør en innsats der du kan miste $ 1 eller få $ 1 med lik sannsynlighet, vil du ende opp med enten $ 9 eller $ 11 etter innsatsen; det vil si, er den forventede verdi $ 10 igjen (gjennomsnittet av de to).

En Gambling strategi

Relatert til dette eksempelet er en betting strategi kalt "martingal." Strategien er å doble innsatsen din etter hver gang du taper, når du spiller et rettferdig spill. For eksempel, hvis satse en dollar på en myntkast og du taper, deretter satse $ 2 på neste flip. Etter hvert vil mynten kommer opp slik du ville ha det, og du vil få en netto fortjeneste. Ingen mange hvor mange ganger du taper, vil du til slutt komme ut fremover.

Eller vil du? Det er lett å vise at selv om du har ubegrenset økonomi, er det lite forventede verdien av denne tilnærmingen. Resultatet for første rettssaken er 50 prosent miste $ 1 og 50 prosent vinne $ 1. Hvis du har mistet, og deretter multipliseres 50 prosent sjanse for å miste av sannsynlighetene for utfallet av den andre rettssaken, og så videre. Så utfallet hvis din første seier er i n-te prøve eller tidligere vil være 0,5 (1-1 + 0,5 (2-2 + 0,5 (4-4 + ... + 0,5 (2 ^ (n-1)) .. .). Siden de fleste vilkårene kansellere ut, tilsvarer denne verdien 0,5 ^ n --- 2 ^ (n-1) = $ 1. Utbetalingen på slutten synes stort hvis n er selv moderat stor, men mye penger ble brukt sammen veien.

Med begrensede økonomi, vil en stor n konkurs deg. Risikoen er derfor stappet inn i en mindre og mindre sannsynlighet for en større og større tap. Dette er som en invers lotteri, med små utbetalinger og et katastrofalt potensielt tap, i stedet for en stor utbetaling og små tap.

Options Trading

Martingale betting metoden er populær i valutahandel, blant annet fordi katastrofe av investeringen går til null er så usannsynlig. Aksjer og obligasjoner kan gå til null verdi, men myndighetene vanligvis ikke går så konkurs at deres valuta verdi helt fordamper Igjen, er strategien å kjøpe mer av valutaen når valutaen i din egen portefølje går ned.

Dette ligner på strategien for rebalansering en portefølje med jevne mellomrom, salg av hva som gikk opp og bruke disse fortjeneste til å kjøpe mer av hva som gikk ned.

Det er to hovedtilnærminger til prising finansielle derivater. Den ene er Black-Sholes partielle differensialligninger tilnærming. Den andre er "martingal metoden." Det kan vises at de to er tilsvarende i tilfelle av et anrop europeisk alternativ. Martingale-metoden knyttet til den matematiske definisjonen av "martingal" som vi så i starten. Selv om de fleste finansielle eiendeler er ikke martingales, kan du konvertere dem. Kommer opp med konverteringen er selvfølgelig vanskelig. Et enkelt eksempel på en slik omdannelse er å dele ut en forventet utvikling. Når en slik konvertering er gjort, (tilsvarer) formelen E [Xn + 1] = Xn kan bli nyttig i avledede prising.