Regler for Elliptical Biljard
Du ville bare ønsker å spille selve biljard på et rektangulært bord, men å spille imaginære biljard på en elliptisk tabellen gir noen interessante matematiske innsikt og gåter. Uansett hvor du skyter ballen, resultatene er forutsigbare og falle inn i en bare noen få enkle mønstre. Å påvise noen av disse resultater ville kreve beregning, men selve reglene er intuitive og oppstår fra enkel regel for refleksjon: at innfallsvinkelen er lik refleksjonsvinkel.
Angle of Reflection
Regelen for refleksjon er at innfallsvinkelen er lik refleksjonsvinkel. På et rektangulære biljardbord normal, en ball treffer veggen spretter bort i samme vinkel som reflekteres på tvers av en linje vinkelrett på veggen og kryssende den ved refleksjonspunktet. Det samme gjelder på en elliptisk biljardbord.
På en elliptisk biljardbord, ballen treffe veggen i et punkt P som reflekteres dersom veggen er en rett linje tangent til ellipsen ved punkt P. En tangent linje er en linje hvis helning er den første deriverte av kurven ved punktet P og skjærer kurven ved punktet P. det er et unikt tangentlinje for hvert punkt på en ellipse.
Refleksjon og Foci
En ellipse har to brennpunktene, F1 og F2. De ligger på hovedaksen av ellipsen, den linje som halverer den horisontalt, og er like langt fra origo. Linjesegmenter med opprinnelse ved brennpunktene og kryssende ellipsen ved punktet P danner like vinkler med tangenten i punktet P. Derfor er en ball som passerer gjennom et fokus vil passere gjennom den andre fokus etter den første returmeldingen. Etter den andre sprette ballen vil passere gjennom den første fokus igjen, og så videre. Hvis ballen fortsetter spretter, vil dens bane kommer nærmere og nærmere til å ligge langs den store aksen.
Hvis det første skuddet ikke går gjennom et fokus, vil ballen aldri passere gjennom et fokus uansett hvor mange ganger den spretter. I dette tilfellet, hvis man spore banen av ballen det negative plass av det resulterende mønster vil være en mindre ellipse, med den samme foci som den opprinnelige ellipse. Jo flere ganger ballen spretter, ser nærmere den resulterende form som en ellipse, og som antall spretter mot uendelig formen nærmer være en ekte ellipse.
periodiske Paths
Dette er et unntak fra regelen nevnt ovenfor om en ball som ikke passerer gjennom den brennpunkter som beskriver et interiør ellipse. I noen spesielle tilfeller, for eksempel der det første sprett er et linjestykke fra et punkt der den store aksen fanger ellipsen til et punkt hvor den lille aksen (linjen vertikale symmetri) avskjærer ellipse, vil banen til ballen beskrive et regulært polygon. Ballen vil aldri avvike fra denne banen uansett hvor mange ganger den spretter.
Når ballen passerer mellom Foci
Hvis det første skuddet passerer mellom brennpunktene til ellipsen, vil hver påfølgende sprett passere mellom brennpunktene til ellipsen. Etter mange spretter, vil spores ballbanen omtrentlig en hyperbel, et timeglass-formet figur, som foci er tema for ellipse. På grensen hvor antallet avvisninger nærmer seg uendelig, er tallet uendelig nær ved å være en hyperbel.
runde bord
En krets er en ellipse med brennpunktene i den samme posisjon. Som i en ellipse, vil banen til en ball som ikke i utgangspunktet passere gjennom fokus aldri passere gjennom fokus, og hvis banen ikke periodisk det vil beskrive en indre sirkel med samme sentrum som den opprinnelige sirkelen. Hvis banen av ballen er periodisk, vil det beskrive et polygon.