tensorer Forklart

Som matematiske beregninger blir mer komplekse, ligningene blir mer tyngende. Skalar notasjon betegner eneste størrelse, mens en vektor som representerer en størrelse og en retning. I mer avansert matematikk, forskere og ingeniører bruker tensors for notasjon. En tensor representerer en størrelse og to eller flere retninger, som omfatter skalare og vektor enheter. En null-ordens tensor er en skalar, er en første ordens tensor en vektor og et andre ordens tensor er en matrise.

Notasjon

tensorer Forklart


En generell andre ordens tensor bruker en variabel med tre senket, som vanligvis er "i", "j" og "k". Noen avansert fysikk eller andre høyere vitenskapelige programmer kan kreve tensors ovenfor andre orden, men de fleste program krever bare en annen rekkefølge eller under. Hver indeks representerer det antall dimensjoner, som vanligvis er tre. En null-ordens tensor har ingen indekser, en første ordre har en og en andre orden har to. Dette mønsteret fortsetter inn i de høyere orden tensorer.

Kronecker Delta

tensorer Forklart


Den Kronecker delta er spesielt tensor som representerer identitetsmatrisen. Tensor lik en når "jeg" likeverdige "j", men det er null når "jeg" ikke lik "j". Dette spesielle tensor har også en "siling" -egenskap, hvorved en (i) gir et (j). Bare begrepene hvor "i" er lik "j" vises i den grafiske siden de andre vilkårene er alle null per definisjon.

Vector Dot Product

tensorer Forklart


For å være nyttig, har en tensor for å gjøre mer enn bare å representere noen mengde - det må også være i stand til å representere en beregning. En vanlig matematiske operasjonen er vektoren dot produkt, eller indre produkt. Denne operasjonen kommer fra en avledning involverer Kronecker delta. Grafikken viser to Kronecker deltaområder blir multiplisert sammen. Den siste linje av ligningen stemmer overens med definisjonen av en vektor dot produkt, så en tensor notasjon hensiktsmessig viser et vektor dot produkt.

Vekslende Tensor

tensorer Forklart


Den vekslende tensor er en annen spesiell tensor designet for å gjøre visse matematiske operasjoner mulig. I likhet med Kronecker delta, verdien av veksel tensor er betinget av sine indekser, men hvor det Kronecker delta har to indekser, har vekslende tensor tre. De nullverdier tillate en kryssproduktet drift når den kombineres med to førsteordens tensorer.

symmetri

tensorer Forklart


En symmetrisk tensor er ett hvori t (i, j) = t (j, i). Et anti-symmetrisk tensor hvori t (i, j) = -t (j, i). Enhver tensor kan uttrykkes som en halvpart av summen av en symmetrisk tensor og et anti-symmetrisk tensor. I tre-dimensjonale (kartesisk) plass, kan en hvilken som helst vektor transformeres inn i en anti-symmetrisk tensor ved hjelp av vekslende vektor. I den grafiske, omega (k) er vektoren og R (i, j) er tensoren.