Tetthet funksjonsteori
I sannsynlighet, en tetthetsfunksjon gir sannsynlighetstettheten for forskjellige verdier av variable. Slike variabler, kalt "tilfeldige variabler" eller "kovariater" i statistikken, er tildelt sannsynlighetsverdier etter funksjon tettheten, som også går under navnet "sannsynlighetstetthetsfunksjonen" og pdf En enkel tetthetsfunksjonen kjent for de fleste er tildeling av en sannsynlighet fra 0,5 til hodet og 0,5 til haler i et myntkast. En annen kjent tetthetsfunksjonen er den klokkeformede normal, eller gaussisk, fordeling. Det totale arealet under en tetthetsfunksjon er lik en, siden området for hver verdi representerer dens sannsynlighet.
kontinuerlig Form
Vi er kjent med diskrete sannsynligheter fra Mynt og kron og ruller terningen. I diskrete sannsynlighet, har hver gitt verdi sin egen sannsynlighet. For eksempel, er sjansen for to terninger som kommer opp som er 1/36. tetthetsfunksjoner kontinuerlige imidlertid tildele ingen sannsynlighet for en enkelt verdi, bare til et område av verdier. For eksempel, den kontinuerlige tetthet sannsynlighet for å ha en IQ på 100 (den vanligste IQ) er null. Men å ha en IQ mellom 99 og 101 har en sannsynlighet på 5,32 prosent. Sannsynligheten i et område kan bli funnet av kalkulus, tar integral (finne arealet under funksjonen tettheten) over området av interesse.
Relasjon med kumulative fordelingsfunksjonen
En kumulativ fordelingsfunksjon (CDF) akkumulerer sannsynlighetene for en tetthetsfunksjon under et visst punkt. Dersom en kurve er kontinuerlig, CDF, F (x), er integrert opp til en x av pdf, f (x). En pdf kan utledes fra en cdf ved hjelp av matematisk analyse for å ta den deriverte.
joint Tetthet
En felles tetthetsfunksjonen gir sannsynlighetsfordelingen for flere variabler. For eksempel, alder, kroppsmasseindeks og blodtrykk kan være variabler som brukes for å fastslå sannsynligheten for å leve forbi 75 år.
Tetthetsfunksjonen for et individ tilfeldig variabel kan finnes fra en felles tetthet ved å integrere. Det er en enkel sak å integrere bort alle variablene i en pdf med unntak av én.
betinget Tetthet
En betinget tetthetsfunksjonen kan beregnes ut fra en felles og én variabel tetthetsfunksjonen. Legg merke til at i en Venn-diagram, er sannsynligheten for x som er gitt y er forholdet mellom overlappingen av x og y dividert med arealet av y. Tilsvarende pdf av x som er gitt y er forholdet mellom pdf av x og y, dividert med den pdf gitt y.
Copula tetthet og Tail Tykkelse
Fordi lav sannsynlighet deler av en tetthetsfunksjon representerer ekstreme hendelser, kan det være nødvendig å finne en tetthetsfunksjon som nøyaktig representerer hale (smale ende) av den empiriske fordelingen. Dette kan være vanskelig på grunn av manglende data, gitt at hale representerer sjeldne hendelser.
Dette problemet har vært i nyhetene nylig fordi finanskrisen i 2008-2009 i stor grad et resultat av feilinformert bruk av matematiske konstruerer kalt "copulas" for å håndtere risiko. De copulas vanligvis brukes modellert risiko med normalfordelinger, da mange situasjoner ble bedre modellert med en tetthet funksjon tykkere-tailed å tillegge større sannsynlighet for å katastrofale hendelser.