Hvordan beregne Bessel funksjon

Bessel funksjoner er sylindriske, symmetriske løsninger til et andre-ordens differensiallikning kalt Bessel-ligning, som kan skrives som:

(z^2)*F''(z) + z*F'(z) - (z^2 + n^2)*F(z)=0;

hvor F 'viser til den første deriverte av funksjonen F med hensyn på z, og F' 'er den andre deriverte. Differensiallikninger av denne type representerer en rekke fysiske problemer, inkludert atompartikkel-spredning, lystransmisjon gjennom en optisk fiber, og varmeledning. Det finnes flere forskjellige typer av Bessel funksjoner. De to som oftest representerer de fysiske løsninger på problemene er Bessel-funksjoner av første slag, og de sfæriske Bessel funksjoner.

Bruksanvisning

Finne Bessel funksjoner

1 Bessel-funksjoner av den første type kan uttrykkes ved den uendelige rekke

J_nu(x)=((x/2)^2)*Sum_[k=0,infinity]{((-1)^k)*([(x^2)/4]^k)/[k!Gamma(k+nu+1)]}

Alternativt, for heltall nu, er Bessel funksjoner kan gis ved hjelp av integralet

J_nu(x)=(1/pi)*Integral_[0, pi] {cos(nu*tau - x*sin(tau))d-tau} 2

Som et alternativ, kan tallverdier og interpole formler for Bessel funksjoner finnes i mange bøker av matematiske tabeller, noen tilgjengelig på nettet, slik som Briggs og Lowan er "Table av Bessel funksjoner," sponset av National Bureau of Standards og publisert i 1943 ved Columbia University Press.

Det er også polynom tilnærmelser for Bessel funksjoner, som kan finnes i tekster som Abramowitz og Stegun håndbok for matematiske funksjoner. For eksempel, J_0 (x) for -3 <x <3 kan tilnærmes ved

J_0(x)=1 - 2.250*(x/3)^2 + 1.266*(x/3)^4 - .317*(x/3)^6 + .044*(x/3)^8 - .004*(x/3)^10 +... 3

Langt den enkleste metoden for å skaffe verdier av Bessel funksjoner og bruke dem til å representere løsninger på fysiske problemer, er å bruke den innebygde biblioteket funksjoner som kommer med matematiske programvarepakker. Selvfølgelig slike pakker som Mathematica, Matlab, Mathcad, og andre engasjerte matematikk programvare har Bessel funksjoner innebygd, men enda mer rudimentære pakker nå ofte har Bessel funksjoner som en del av sitt bibliotek. For eksempel, "Grapher" verktøy som kommer med Apples OS X har en innebygd Bessel funksjon.

Husk, det er mer enn én type Bessel-funksjonen, så vær nøye med å kontrollere at du bruker den innebygde funksjonen du tror du bruker.

4

Kule Bessel funksjoner

Det er en spesiell klasse av Bessel funksjoner som representerer løsningen av problemer med sfærisk symmetri. Nærmere bestemt, de sfæriske Bessel funksjoner representerer den radielle delen av bølgefunksjonen for elektroner som går i bane en kjerne.

j_0(kr)=sin(kr)

j_1 (kr) = sin (kr) / (kr) ^ 2 - cos (kr) / kr

j_2 (kr) = 3 * sin (kr) / (kr) ^ 3 - 3 * cos (kr) / (kr) ^ 2 -sin (kr) / kr

De sfæriske Bessel funksjoner kan alle bli generert fra j_0 (kr) ved forholdet

j_p(kr)=(-r/k)^p * ((1/r)(d/dr))^p j_0(kr)

Som Bessel-funksjoner av første slag, er sfæriske Bessel funksjoner som inngår i matematikk pakker, og kan finnes i matematiske bord i tillegg.