Hvordan beregne Hessian

Den hessiske matrisen, oppkalt etter tyske matematikeren Ludwig Hesse, er et viktig begrep i multivariabel kalkulus. Den hessisk, som det er noen ganger formelt kalles, er en kvadratisk matrise som inneholder hvert andre orden partiell deriverte av en funksjon, inkludert blandede derivater (dvs. derivater av mer enn en variabel). Den hessiske er vanlig å finne de sadelpunkt og lokale minima og maksima av en funksjon som kan hjelpe deg å forstå form og oppførselen til en funksjon bedre. Den hessiske kan beregnes i bare noen få trinn.

Bruksanvisning

1 Skriv definisjonen av et hessiske for problemet på hånden. For eksempel, hvis du ønsker å finne den hessiske av matematisk funksjon

f (x, y) = 3 (x ^ 3) (y ^ 2) - 4x (y ^ 4) + xy,

da den Hessiske vil være en 2 x 2-matrise i form

[D [xx] d [xy]]

| ]

[D [yx] d [yy]]

der, d representerer differensiering og den variable i hakeparentes (x eller y) er den variable som differensiering refererer.

2 Beregn den første deriverte av funksjonen med hensyn til de variable. dette gir

d [x] = 9 (x ^ 2) (y ^ 2) - 4y ^ 4 + y

og

d [y] = 6 (x ^ 3) (y) - 16xy ^ 3 + x.

3 Beregn andre partiell deriverte av funksjonen i form av alle variabler. I dette eksempel er det to variabler: x og y. Derfor vil det være fire andre partielle deriverte:

d [xx] = 19xy ^ 2

d [xy] = 18x ^ 2y - 16y ^ 3 + 1

d [yy] = 6x ^ 3 - 48xy ^ 2 + x

d [yx] = 18x ^ 2y - 16y ^ 3 + 1.

4 Skrive alle de andre partielle deriverte inn i Hessiske matrise, ved hjelp av definisjonen av hessisk. dette gir

[19xy ^ 2 18x ^ 2y - 16y ^ 3 + 1]

| ]

[18x ^ 2y - 16y ^ 3 + 1 6x ^ 3 - 48xy ^ 2 + x]

Dette er den hessisk matrisen.