Hvordan beregne volumet med Shell Method

I kalkulus, kan du bruke skallet metode for å måle et volum spores ut av en rotert form. I dette tilfellet en "shell" er en sylinder med det meste av midt mangler, slik at bare en tynn sirkulær vegg bak. Skallet metode er beslektet med disken metode som omtalt i Ellis og Gullick innledende lærebok "Calculus", men skallet metode bedre muliggjør måling av volumer med et hull i midten. For eksempel at en halvsirkel med radius 1 ligger ved x = -1. Du ønsker å vite volumet spores ut ved å rotere formen rundt y-aksen. Denne formen ikke egner seg til å bli brutt opp til skiver sentrert på y-aksen på grunn av hullene i midten - men det egner seg til å bli brutt opp i skallet.

Bruksanvisning

1 Bruk formelen for en sylinder til å komme opp med formelen for et skall. Betegne volumet av et skall av indre radius I, ytre radius O, høyde H, og tykkelse? X. Dersom målet ikke manglet fra skallet, ville det være en sylinder med volum H? O ^ 2. Den manglende Senteret har volum H? I ^ 2. Forskjellen er H? (O ^ 2-I ^ 2) = H? (OI) (O + I) = H? (? X) (2 x midlere radius).

2 Bestem en funksjon for formen høyde. For eksempel i innledningen, H ^ 2 + (x + 1) ^ 2 = 1. Derfor, H = [1- (x + 1) ^ 2], hvor? indikerer at du tar kvadratroten av hele mengden i parentes.

3 Bestemme en funksjon av radien av skallet.

Fortsetter med eksempelet ovenfor, varierer radien fra x = -2 til x = 0. Legg merke til at integrasjons må gjøres -2-0 for å holde? X positiv. Hvis du integrerer 0 til -2, så din shell bredde vil bli oversatt som negative.

4 Oppsummere volumene H? (? X) (2 x midlere radius) over området av x ved å integrere, ved hjelp av uendelig smale skall med bredde dx.

Fortsetter med eksempelet ovenfor, integrere -2-0 gir? ? [1- (x + 1) ^ 2]? dx (-2x). Siden derivat av beløpet under radikal skiltet er -2 (x + 1), det -2x kan skrives -2x-2 + 2, slik at integralet kan skrives som to integraler, en løst ved hjelp av kjerneregelen og annet løst som en arcsin. Resultatet er (2/3)? (1- (x + 1) ^ 2) ^ 1,5 + 2? [(X + 1) / 2? [1- (x + 1) ^ 2] + 0,5 arcsin (x 1)], evaluert på 0 og -2. Vurderer på 0 gir? ^ 2/2. Vurderer på -2 gir - ^ 2/2. Tar forskjellen gir? ^ 2.