Hvordan løse Coupled lineære differensiallikninger

En vanlig teknikk som brukes til å løse et system av koblede lineære differensialligninger innebærer frakobling av ligningene gjennom matrisemetoder og integrere hver for seg. Nøkkelen til suksess for denne metoden er muligheten til å kople ligningene ved diagonalizing torget matrise som oppstår når disse ligningene er omskrevet i matriseform. Denne teknikken krever matrise algebra, inkludert egenverdier og egenvektorer, og integralregning, og det er mange ressurser tilgjengelig på følgende emner som Wolfram er Math World.

Bruksanvisning

1 Uttrykk system av lineære differensialligninger i matriseform. For eksempel vurdere følgende to differensiallikninger

dx / dt = ax + by (1)

dy / dt = cx + dy (2)

Dette kan omskrives i matriseform som dX / dt = Xdot = AX, hvor Xdot er en spaltematrise av derivatene, A er 2 x 2 kvadratisk matrise av koeffisientene a, b, c og d, hvor a og b er i den første raden og og c og d de andre, og X er en spaltematrise av variablene x og y. For mer informasjon om hvordan man skal skrive ligninger i matriseform se "Schaum omrisset av teori og Problemer med Matrix Operations": Richard Bronson: 1989.

2 Beregn egenverdiene ved å finne løsningen på den karakteristiske ligning for matrise A. Egenverdier er de karakteristiske røtter av den karakteristiske ligning, og egenvektorene er de tilhørende vektorer. Det karakteristiske ligning har formen Det | A-LI | = 0, hvor Det er determinant, representerer L en matrise av egenverdier og I er identitetsmatrisen som bare består av elementer med en verdi på en på den diagonale og null ellers.

3 Løs for egenvektorene. Egenvektorene er knyttet til egenverdiene som følger:

AS = LS

hvor S er en kolonne matrise av egenvektorer.

4 Diagonalize matrisen A ved å utføre følgende matrise drift:

D = SA (inverse av S)

hvor D er en matrise som kun har verdier på sin diagonal.

5 Omskrive det opprinnelige matriseligning dX / dt = Xdot = AX i form av diagonlized matrise av A ved å erstatte X = SY og D = SA (invers av S) for å komme

dY / dt = Ydot = DY

Dette representerer et system av differensialligninger er dekoblet.

6 Integrer hver rad i matriseligningen dy / dt = Ydot = DY å finne løsninger for Y.

7 Substitute løsningen for Y tilbake i ligningen X = SY å få løsninger for den opprinnelige ligningen.