Aktiviteter med algebraiske ligninger

Ligninger inneholde vilkår atskilt med et likhetstegn som viser at de er likeverdige. Ligninger har variabler, eller brev representasjoner av ukjente mengder, som må løses. Algebra brukes til å isolere den variable på den ene side av likhetstegnet, slik at den numeriske løsning på den andre.

lineære ligninger

Den enkleste type av ligninger er lineære ligninger. Lineære likninger inneholde variabler og konstanter (tall), men ikke har eksponenter eller røtter. Multivariable lineære ligninger graf som rette linjer. Grafisk fremstilling av det på en enkel måte når ligningen er plassert i helling-skjæringsform, eller y = mx + b, hvor "m" er helningen av linjen og "b" er det y-aksen, eller punkt hvor linjen skjærer y -akser.

Løs en enkel lineær ligning som 3x + 4 = 16 ved å trekke 4 fra begge sider for å få 3x = 12. Deretter dele begge sider med 3 og får x = 4.

For å bearbeide den lineære ligningen 3y + 6x + 4 = 9x + 8 i skråningen-skjærings form, vil du begynne med å trekke 6x fra begge sider for å få 3y + 4 = 3x + 8. Så du ville trekke 4 fra begge sider for å få 3y = 3x + 4. til slutt, vil du dele begge sider med 3 og får y = x + 4/3. Legg merke til at skråningen er en, eller en flekk til høyre og ett poeng opp, og y-aksen er 4/3.

Kvadratiske ligninger: Facto

Kvadratiske likninger inneholder konstanter og variabler med en av variablene som har en eksponent for 2. standardskjema for gradslikninger er ax ^ 2 + bx + c = 0. Disse ligningene kan vanligvis løses gjennom factoring. Hvis du har en ligning på formen ax ^ 2 + bx + c, begynner ved å multiplisere "a" og "c". Deretter finne et par av tall som tilsvarer en * c når multiplisert og b da lagt. Neste skrive to sett med parenteser og plassere de to tallene du fant i forrige trinn på høyre side av parenteser. Til slutt, finne to vilkår som tilsvarer ax ^ 2 når multiplisert. Legg dem på venstre side av parenteser. Sjekk at du har fått det riktige svaret ved hjelp av folien (den rekkefølgen du multiplisere vilkår: første, ute, inne og siste).

For eksempel, se på x ^ 2 - 7x + 12. I denne likning er a = 1, b = -7 og c = 12 a k = 1 12 = 12. -3 og -4 lik 12 når det multiplisseres og -7 da lagt. x x = x ^ 2. Så du har (x-3) (x-4). Nå kontrollere arbeidet. Først: x x = x ^ 2. Utenfor: x -4 = -4x. Inside: -3 x = -3x. Siste: -3 * -4 = 12. Legg dem alle sammen for å få x ^ 2 + (-4x) + (-3x) 12 = x ^ 2 - 7x 12, som er den ligningen du startet med.

Nå setter hver faktor lik 0 og løse for den variable. For eksempel, som du vet, x ^ 2 - 7x + 12 faktorer ut som (x - 3) (x - 4). Så bare sette hver faktor til 0 og løse: x - 3 = 0 blir x = 3 og x - 4 = 0 blir x = 4. Svarene er x = 3 og x = 4.

Kvadratiske ligninger: kvadratiske formelen

Når gradslikninger ikke vil ta hensyn, eller om facto viser seg vanskelig, kan den kvadratiske formelen brukes til å løse for variable verdier. Den kvadratiske formelen gjelder for en ligning i standard form av ax ^ 2 + bx + c = 0, og sier at x = (-b ± √ (b ^ 2 - 4ac)) / (2a). Pluss-minustegn, ±, indikerer at både en addisjon og en subtraksjon versjon av den resulterende ligning som skal løses.

Som et eksempel, for ligningen x ^ 2 + 5x + 6 = 0, a = 1, b = 5 og c = 6. Den kvadratiske ligningen kan skrives som x = (-5 ± √ (5 ^ 2 - 4 ( 1) (6))) / (2 * 1). Forenkling gir deg (-5 ± √ (25-24)) / (2) = (-5 ± √ (1)) / (2) = (-5 ± 1) / 2. Løse først for tillegg versjonen, du får x = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 eller x = 2. Til slutt, løse for subtraksjon versjonen, får du x = (-5 - 1) / 2 = -6/2 eller x = -3.

Systemer av ligninger

Et system av ligninger er et sett av to eller flere variable ligninger som kan løses samtidig. Ligningene kan være enten lineære eller ikke-lineære. Den enkleste måten å løse et system er gjennom substitusjoner, som fungerer best når det er to ligninger med to variable hver. Man omdanne en ligning, ved bruk av algebra, slik at det tilsvarer en variabel. Da ville du plugger den ligningen (som representerer variabel) inn i den andre ligningen og løse for den andre variabelen. Til slutt, vil du plugger løsningen tilbake i den forenklede andre ligningen for å løse for den opprinnelige variabelen.

For eksempel, se på følgende ligningssystemet 2x + 3y = 15 og 4 x + y = 12. Først setter den andre ligningen lik "y": y = 12 - 4x. Plugg denne inn i den første likningen: 2x + 3 (12 - 4x) = 15. Simplify: 2x + 36 - 12x = 15. Kombiner like vilkår: -10x + 36 = 15. Trekk 36 fra begge sider: -10x = -21. Dele begge sider av -10: x = 2,1. Til slutt kobler denne inn i forenklede andre ligning: y = 12-4 * 2,1 = y = 3,6.