Formelen for volumet av en Octagon

I geometri, er en åttekant et polygon med åtte sider. En vanlig Octagon har åtte like sider og like vinkler. Det vanlige åttekant er allment anerkjent fra stopp skilt. En oktaeder er en åttekantet polyeder. Et regulært oktaeder har åtte trekanter med kanter av lik lengde. Det er effektivt to kvadratisk pyramide møte på sine baser.

Octagon området Formula

Formelen for arealet av en vanlig åttekant med sider av lengde "a" er 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, der "sqrt" indikerer kvadratroten.

derivasjon

En åttekant kan sees på som 4 rektangler, ett torg i sentrum og fire likebeint trekant i hjørnene.

Plassen er areal en ^ 2.

Trekantene har sider a, a / sqrt (2) og a / sqrt (2), av Pythagoras 'læresetning. Derfor har hver et areal på a ^ 2/4.

Rektanglene er av området a * a / sqrt (2).

Summen av disse områdene 9 er 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).

Octahedron Volume Formula

Formelen for volumet av en vanlig oktaeder av sidene "a" er en ^ 3 * sqrt (2) / 3.

derivasjon

Arealet av en fire-sided pyramide er område av basen høyde / 3. arealet av en vanlig Octagon er derfor to basen * høyde / 3.

Base = a ^ 2 trivielt.

Plukk to tilstøtende hjørner, sier "F" og "C." "O" er i sentrum. FOC er en likebent rettvinklet trekant med base "en", så OC og OF har lengde a / sqrt (2) av Pythagoras 'læresetning. Slik høyde = a / sqrt (2).

Slik at volumet av en vanlig oktaeder er 2 (a ^ 2) en / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.

Flateareal

Det vanlige octahedron overflate er arealet av en likesidet trekant med side "a" x 8 ansikter.

For å bruke Pythagoras 'læresetning, slippe en linje fra toppen til bunnen. Dette skaper to rettvinklede trekanter, med hypotenusen av lengden "a" og en sidelengde "a / 2." Derfor må den tredje side være sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Så arealet av en likesidet trekant er høyden base / 2 = sqrt (3) en / to a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.

Med 8 sider, er overflatearealet av en regelmessig oktaeder 2 sqrt (3) a ^ 2.