Hvordan Factor grenser med Cubic Eksponenter

May 22

Du kan komme over grenseverdiene problemer i kalkulus som har kubikk eksponentene i teller eller nevner. Problemet i å ta grenser når du får en kubisk oppstår når teller og nevner av funksjonen i spørsmålet både lik null hvis du plugger i antall at variabelen blir begrenset til. Så du trenger å faktor ut og forenkle funksjonen for å gjøre den sanne grensen mer tydelig.

Bruksanvisning

1 Bekreft at funksjonen av bekymring faktisk ikke har en klar grense hvis du bare plugge i antall er begrenset til.

For eksempel si at du trenger å finne grensen for [x ^ 3-12x + 16] / [x ^ 2 + 2x-8] som x går til 2. Her cirkumflekstegnet ^ indikerer potenser. Hvis du kobler til to, får du null over null, som ikke har noen mening.

2 Faktor teller og nevner ved å dele ut en binomisk som har som en rot nummeret som variabelen konvergerer i grensen.

Dette høres komplisert ut, så se på hvordan det ville gjelde for eksemplet ovenfor. Du tar grensen av funksjonen over på 2. Så dele binomiske x-2 inn i kubikk for å få x ^ 2 + 2x-8. (Merk at [x ^ 2 + 2x-8] * (x-2) = x ^ 3-12x + 16.) Funksjonen ovenfor er nå (x-2) [x ^ 2 + 2x-8] / [x ^ 2 + 2x-8]. Hvis du har glemt polynom lang divisjon fra algebra klasse, se Resources nedenfor for et eksempel.

3 Utjevne de vanlige polynomer i teller og nevner.

Fortsetter med eksempelet ovenfor, merk at du ikke virkelig trenger å faktor x-2 ut av nevneren fordi x ^ 2 + 2x-8 i teller og nevner kansellere ut, forlater x-2. Men hvis du hadde tatt x-2 ut av nevneren, ville du ha fått (x-2) (x + 4). Slik at funksjonen i sin helhet ville være (x-2) [x ^ 2 + 2x-8] / [(x-2) (x + 4)]. Avbryter ut x-2 i teller og nevner blader [x ^ 2 + 2x-8] / (x + 4).

4 Ta grense av funksjonen nå.

Fortsatt i eksempelet, er grensen som x går til to av [x ^ 2 + 2x-8] / (x + 4) er delt på 0 til 6 (dvs., 0).

Hint

For å redusere tiden det lange divisjon tar, to nyttige ligninger for facto cubics er disse velkjente formler: (xy) ^ 3 = (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) og (x + y) ^ 3 = (x + y) (x ^ 2-xy + y ^ 2). For eksempel, (x-2) ^ 3 kan skrives (x-2) (x ^ 3 + 2x + 4). Hvordan å huske slike komplekse formler? Den negative tegn i binomial av den første ligningen er ingen overraskelse. Derfra, bare husk at faktorisering for begge likningene har bare én negativ i det. Så xy får negativt fortegn i den andre ligningen.