Hvordan Interpoler

I matematikk, er interpolasjonen beregning av verdien av en funksjon mellom de verdier som allerede er kjent. Funksjonen f (x), er ukjent, bortsett fra på visse verdier av x. Mellom disse verdier, kan f (x) bare anslås. For å gjøre dette, kan andre funksjoner være skikket til å matche de kjente verdiene av f (x), og fungere som proxy for å beregne f (x) på de punktene x der verdien ikke er kjent. Lagrange polynomer er en slik klasse av funksjon. Formålet med den Lagrange-metoden er å finne, for et gitt punkt hvor f (x) er kjent, et polynom som er lik f (x) på det punktet, men null ved de andre punkter hvor f (x) er kjent. Tilsetning av alle disse polynomer sammen frembringer et polynom som tar på de kjente verdier av f (x) i hvert punkt hvor det er kjent, ettersom hvert mindre polynom er null ved alle punkter av kjent f (x) med unntak av én.

Bruksanvisning

Lagrange polynomer

1 Bestem hvor mange verdier av funksjonen for å inkludere i interpolering.
Dette vil bestemme rekkefølgen av Lagrange polynomet som skal brukes. For eksempel, dersom verdien av funksjonen f (x), er kjent ved suksessiv x-verdier x1, x2, x3, x4 og x5, og man ønsker å anslå verdien av f (x) på et eller annet x mellom x2 og x4, deretter bruke f (x2), f (x 3), og f (x4) for å produsere en andre ordens Lagrange polynom ville være rimelig. Rekkefølgen av et polynom er hvor høyt de eksponentene for x får. (For eksempel x ^ 2 + 2 er en andre ordens polynom, og 3x ^ 3 + 4x + 1 er tredje-order.) Selv om det er ønskelig å inkludere flere data i modellen enn mindre, er det også ønskelig å ikke ha en modell som krever så mange beregninger (for eksempel fra å være høy rekkefølge) at det er en stor økning i arbeidet for bare en beskjeden mulig gevinst i nøyaktighet.

2

Løse for et polynom som er lik f (x) ved en av de x-verdier som er valgt i trinn en og null ved de andre valgte x-verdier.

Finn et slikt polynom for hver verdi av x valgt i trinn 1. polynom som gjør dette har følgende form. Fortsatt i eksempelet ovenfor, P (x) = f (x3) --- (x-x 2) (x-x4) / [(x3-x2) (x3-x4)] vil være lik f (x3) ved x3, og null når x = x2 eller x4. Du kan vise dette for deg selv ved å bare plugge tallene i og redusere.

Merk at interpolering med bare to poeng i stedet for tre produserer en førsteordens ligning: en rett linje. Ingen krumning vil bli innlemmet i interpole - poenget er at reduksjon av informasjonen går inn i modellen er reflektert i enkelhet av sine egenskaper.

I diagrammet, er den stiplede linje en to-punkt (lineær) interpolere funksjon. Den blå punkt på estimering funksjon overvurderer det røde punktet, den sanne verdien av f (x). Ved hjelp av en tredje verdien av f (x) mellom x1 og x2, hvis det var tilgjengelig, ville ha fjernet begrensningen til å være rett (lineær), og senket den blå punktets posisjon.

3 Tilsett polynomer beregnet i trinn to for å frembringe en ny polynom.

Denne nye polynom vil ha den egenskap lik f (x) på hvert punkt anvendt. Den vil ha orden n-1, dersom n er antallet punkter som brukes. Det vil være lik f (x) på hvert punkt anvendt. Denne nye polynom kalles en Lagrange polynom. Interpolasjon kan utføres med det ved å koble verdier x mellom x-verdier som brukes i interpolering. Verdien av polynomet vil være et estimat, ved interpolering, av verdien av f (x).

Hint

• Ikke alle datapunktene er inkorporert i fremgangsmåten ovenfor. Flere variasjoner er mulig bortsett fra x2, x3, x4 og valgt ovenfor (for eksempel x1, x3, og x5, eller alle av dem). Fremgangsmåten er også vanskelig å programmere. For den interesserte leser, er en algoritme kalt Neville metode basert på Lagrange polynomer men får rundt disse problemene, og i tillegg gir et anslag av nøyaktighet som er enklere å beregne enn med Lagrange polynomer. (Se referanser).
• Ved hjelp av en interpolere formel for ekstrapolering, dvs. estimere verdier av f (x) utenfor rekkevidden av punktene som brukes, er ikke hva denne modellen er designet for, og bør generelt ikke gjøres. For eksempel, hvis x = 0, 5, 10 og 15 er de punktene som brukes til å utvikle den interpolere polynomet, ekstrapolering vil være å bruke den interpolere polynom for å beregne f (x) for x = 20.