Hvordan å løse et lineært system av ligninger Bruke matriser
En lineær ligning inneholder typisk to variable, og er i form av y = mx + b. Hver variabel er kalt et ukjent. Lineære ligninger kan også inneholde flere ukjente enn bare to. For eksempel, 2x + 4y + 5Z-6 = 0 er en lineær ligning av tre variabler. Et lineært system av ligninger er et sett av lineære ligninger. Løsningen på et lineært system av ligninger kan finnes ved først å representere det lineære system i matriseform og ved hjelp av den gaussiske eliminasjonsmetoden for å finne sine løsninger.
Bruksanvisning
Arbeid deg ligninger
1 Sørg for at alle ligningene i systemet er lineær. Sjekk at den største kraften av hvert semester er den første orden, noe som betyr at den ikke inneholder noen kvadratiske eller større vilkår. For eksempel, den ligningen 2x-3y = 1 er lineær.
2 Skriv det lineære ligningssystemet som en utvidet matrise. Den utvidet matrise er en matrise som er i form [A | C] hvor A er alle koeffisientene ukjente til venstre side av ligningene, og C er alle konstantene til den høyre side av ligningene. For eksempel, det lineære system:
2x-3y-z + 2W + 3V = 4
4x-4y-z + 4W + 11V = 4
2x-5y-2z + 2W-v = 9
2y + z + 4V = -5
kan representeres som den utvidede matrisen:
2 -3 -1 2 3 | 4
4 -4 -1 4 11 | 4
2 -5 -2 2 -1 | 9
0 2 1 0 4 | -5
3 Utfør elementære radoperasjoner på den utvidede matrisen til å transformere den utvidede matrisen til en triangulær matrise. For eksempel, den utvidede matrisen:
2 -3 -1 2 3 | 4
4 -4 -1 4 11 | 4
2 -5 -2 2 -1 | 9
0 2 1 0 4 | -5
kan transformeres ved hjelp av elementære radoperasjoner til en triangulær matrise:
2 -3 -1 2 3 | 4
0 2 1 0 5 | -4
0 0 0 0 1 | 1
0 0 0 0 0 | 0
4 Skriv tilhørende lineære ligningssystemet fra augmented trekantede matriseform. For eksempel matrisen:
2 -3 -1 2 3 | 4
0 2 1 0 5 | -4
0 0 0 0 1 | 1
0 0 0 0 0 | 0
kan skrives tilbake som et lineært system av ligninger:
2x-3y-z + 2W + 3V = 4
2y + z + 5 V = -4
v = 1
5 Bruke metoden for back-substitusjon å finne løsninger for alle ukjente. Ta det enkleste ligningen som allerede er løst i den lineære ligningssystemet, og erstatte den i de neste mer kompliserte ligninger med flere ukjente. Gjenta denne prosessen til alle ukjente løses. For eksempel, ved bruk av den lineære system av ligninger:
2x-3y-z + 2W + 3V = 4
2y + z + 5 V = -4
v = 1
Siden v = 1 og ved å anta at Z = S og m = t, gjør tilbake-substitusjon vil gi verdiene av de oppløsninger som:
x = (- 25/4) - (1 / 4s) -t
y = (- 9/2) - (1 / 2s)
z = s
w = t
v = 1
Hint
- Elementære radoperasjoner består av å bytte to rader, multiplisere en rad med et tall som ikke er null og legge til multipler av en rad til en annen rad.
- Man kan også bruke mer komplekse fremgangsmåten i Gauss-eliminasjon for å løse et lineært system av hvilket som helst antall ligninger.